1、20162017（上）杏南中学高三数学（理）半期考数学试题（2016.11.10）一、选择题（每题5分，共60分）1.设集合,，则 ( C )A B C D2若，且，则 ( A )A B C D3已知是定义在上的偶函数，且以为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的 （ C ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则 （ B）A B C D5已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则 （ B ）A B C D6设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直
2、，与交于两点，为的实轴长的倍，则的离心率为 （ A ）A B C D7已知直二面角，点，为垂足，为垂足，若，则到平面的距离等于（ C ）A B C D8将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是 ( D ) A B C D 9如右图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是(D)AEF与BB1垂直 BEF与BD垂直CEF与CD异面 DEF与A1C1异面10椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别为、，若成等比数列，则此椭圆的离心率为（ B ）A B C D11设函数在上可导，其导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论
3、中一定成立的是（ D ）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值 12函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于 （ C ）A B C D二、填空题（每题5分，共20分）13已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为。14如右图，在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小是。15如右图，在中，已知点在边上，, ，则的长为。16设函数，给出下列命题：，时，方程只有一个实数根；时，是奇函数；方程至多有两个实根上述三个命题中所有正确命题的序号为三、解答题（共70分）17（10分）在中，分别是三个内角的对边，且。（1）求角的大小。
4、 （2）如果，求的值。解：（1）由已知，及正弦定理，得，所以；而，则。（2）由，即得；由余弦定理得：，所以。18（12分）设抛物线：，为的焦点，过F的直线与相交于、两点（1）设的斜率为，求的大小；（2）求证：是一个定值(1)解F(1,0)，直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值18（12分）已知函
5、数，其图像过点。（1）求的值；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，求函数在上的最大值和最小值。解：（1）由已知得：，化简得：，即，得，又，所以。（2）所以，当时，。20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的余弦值 (1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由
6、(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD为正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)为平面PAC的一个法向量cos n，.21（12分）如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左右焦点分别为，线段，的中点分别为，且是面积为的直角三角形。（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程。解：（1）设所求椭圆标准方程为，右焦点为。因为是直角三角形，又，所以，因此，而，得，。，且，得，从而，故所求椭圆的标准方程是。（2）由（1）知，由题意知直线的斜率不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得(恒成立)设，则，由，得，即，得，所以所求直线方程为和。22（12分）已知函数（）。（1）证明：曲线与曲线有唯一公共点；（2）设，比较与的大小，并说明理由。22（1）设，令，当时，递减；当时，递增；所以，即，所以在上单调递增，又，故在上有唯一零点，即与有唯一公共点。（2），设，（当且仅当时等号成立）所以在上单调递增，当时，。令，则得，又，所以。