1、3.4 生活中的优化问题举例基础巩固一、选择题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()答案A解析加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A2若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大3某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2()(0x0
2、)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，则应生产()A6千台 B7千台C8千台 D9千台答案A解析设利润为y(万元)，则yy1y217x22x3x218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得0x6，令y6，当x6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台6设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A BC D2答案C解析如图，设底面边长为x(x0)，则底面积Sx2，h.S表x3x22x2，S表x，令S表0得x，因为S表只有一个极值，故x为最小值点二、填空题7把长为60cm的铁丝围成矩形，长为_，宽为_时，矩形
3、的面积最大答案15cm15cm解析设长为xcm，则宽为(30x)cm，此时Sx(30x)30xx2，S302x0，所以x15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大8做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最小，则圆柱的底面半径为_.答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR2，S(R)2R0，令S0得R3，当R3时，S表最小9用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_.答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x)，故体积为V2x
4、26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x，x1.该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax3m3.三、解答题10用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解析设水箱底边长为xcm，则水箱高为h60(cm)水箱容积VV(x)60x2(0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大，故选D2三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为()
5、A4 B8C D答案C解析Vy(0x0)，L2.令L0，得x16或x16(舍去)L在(0，)上只有一个极值点，x16必是最小值点x16，32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省4某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大效益，则x的取值为()A0.0162 B0.0324C0.0243 D0.0486答案B解析依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.0486kx2，其中x(0,0
6、.0486)所以银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx2.令y0，得x0.0324或x0(舍去)当0x0；当0.0324x0.0486时，y0.所以当x0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益二、填空题5做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省料答案4解析设底面边长为x，则高为h，其表面积为Sx24xx2，S2x，令S0，则x8，则当高h4时S取得最小值6某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200x)件，要使利润最大每件定价为_元答案85解析设每件商品定价x元，依题意可得利
7、润为Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2x170，令2x1700，解得x85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大三、解答题7某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)200xx3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？解析设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)500x2 500C(x)500x2 500300xx32 500(xN)令L(x)300x20，得x60(件)又当0x0x60时，L(x)0所以x60是L(x)的极大值点，也是最大值点所以当x60时，L(x)9 500元答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元8.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值分析将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数求最值由于表面积S2r22rh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V，令V0得S6r2，h2r，又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.