1、23.1直线与平面垂直的判定预习课本P6466，思考并完成以下问题1直线与平面垂直的定义是怎样的？ 2直线与平面垂直的判定定理是什么？ 3直线与平面所成的角是怎样定义的？ 4直线与平面所成的角的范围是什么？ 1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足(2)图形语言：如图画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意a，都有lal.点睛(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形(2)注意定义中“任
2、意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.点睛判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0.(4)线面角的范围
3、：090.点睛把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若ab，a，l，则lb()(3)若ab，b，则a()答案：(1)(2)(3)2直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行B垂直C在平面内 D无法确定解析：选D当平面内的两条直线相交时，直线l平面，即l与相交，当平面内的两直线平行时，l或l或l与垂直或l与斜交3.如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC
4、的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC.PCAB，PCAC，PCBC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，BC平面PAC，BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解典例下列说法正确的有_(填序号)垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直解析因为空间内与一条直线同时垂直的两条直
5、线可能相交，可能平行，也可能异面，故不正确由线面垂直的定义可得，故正确因为这两条直线可能是平行直线，故不正确如图，l与不垂直，但a，la，故不正确答案(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线活学活用1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABC解析：选COAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.2如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；
6、圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填.答案：线面垂直的判定典例如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，
7、所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论活学活用如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明：(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平
8、面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.直线与平面所成角典例三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值解如图，过S作SO平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SOAO，SOBO，SOCO.SASBSCa，SOASOBSOC，AOBOCO，O为ABC的外心ABC为正三角形，O为ABC的中心SO平面ABC，SAO即为SA与平面ABC所成的角在RtSAO中，SAa，AOaa，cosSAO，SA与底面ABC所成角的余弦值为.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)
9、转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算 活学活用在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为_；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为_解析：(1)由线面角定义知，A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，A1BA45.(2)如图，连接A1D，设A
10、1DAD1O，连接BO，则易证A1D平面ABC1D1，A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，A1B与平面ABC1D1所成的角为A1BO.A1OA1B，A1BO30.(3)A1BAB1，A1BB1C1，A1B平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90.答案：(1)45(2)30(3)90层级一学业水平达标1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mBmn，且nCmn，且n Dmn，且n解析：选BA中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C、D
11、中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.2若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行 B相交C异面 D以上皆有可能解析：选D在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面故选D.3下列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直
12、；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直A BC D解析：选D不正确4.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定解析：选CBA，l，l，BAl.同理BCl.又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：选AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.6已知直线l，a，b，平面，若要得到结论l，则需要在条件a，b，la，lb中另外添加的一个
13、条件是_答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_解析：因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角等于45.答案：458已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_解析：如图，PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又BDPC，PAPCP，BD平面PAC.又AC平面PAC，BDAC.平行四边形ABCD为菱形答案：菱形9.如图，在四面体ABCD中
14、，BDC90，ACBD2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF.求证：BD平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又E，F分别为AD，BC的中点，FGBD，EGAC.ACBD2，则EGFG1.EF，EF2EG2FG2，EGFG，BDEG.BDC90，BDCD.又EGCDG，BD平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCDA1B1C1D1为正方体，易得B1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，BC1平面ABC
15、1D1，D1C1平面ABC1D1，B1C平面ABC1D1.E，F分别为A1B1，CD的中点，EFB1C，EF平面AC1，即EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角在RtEOA中，EOEFB1C，AE ，sinEAO.直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.层级二应试能力达标1在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1CB平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB答案：B2下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个其
16、中正确的是()A BC D解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故不正确；易知均正确故选B.3设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确4如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()解析：选D如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，
17、G，M，N，Q均为所在棱的中点，且EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直故选D.5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_解析：连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角在RtFBE中，BF1，BE，则tanFEB.答案：6.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足_时，空间四边形中的两条对角线互相垂直(填上你认为正确的一
18、种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设ACBD，则ACDE，ACBE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC平面BDE，所以ACBD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证ACBD.答案：ACBD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.求证：DH平面ABCD.证明：由已知得，ACBD，ADCD，又由AECF，得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，
19、AC6得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3，于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.8.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证C1D平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论证明：(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1C1DD，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F为所求C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，DFAB1，F为BB1的中点，当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.
