1、32.1直线的点斜式方程预习课本P9294，思考并完成以下问题 1确定直线的几何要素是什么？ 2直线的点斜式方程是怎样推导的？ 3直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么？ 4直线的纵截距是怎样定义的？ 1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.点睛经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：斜率存在的直线，方程为yy0k(xx0)；斜率不存在的直线，方程为xx00，或xx0.2直线
2、的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程点睛(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1,3)()(2)对于直线y2x3在y轴上截距为3()(3)直线的点斜式方程也可写成k()答案：(1)(2)(3)2直线l经过点P(2，3)，且倾斜角4
3、5，则直线的点斜式方程是()Ay3x2 By3x2Cy2x3 Dy2x3解析：选A直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为y3x2.3在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3，又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x2直线的点斜式方程典例已知点A(3,3)和直线l：yx.求：(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程解因为直线l：yx，所以该直线的斜率k.(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y3(x3)(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的
4、直线方程为y3(x3)利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程活学活用1直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程解：直线yx1的斜率k1，倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，直线l的斜率ktan 1351.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3)2若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为150；(2)平行于x轴；
5、(3)平行于y轴；(4)过原点解：(1)直线的斜率为ktan 150，所以由点斜式方程得y1(x2)，即方程为y1(x2)(2)平行于x轴的直线的斜率k0，故所求的直线方程为y1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k，故所求的直线方程为yx.直线的斜截式方程典例根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)由于倾斜角150，所以斜率ktan 150，由斜
6、截式可得方程为yx2.(3)由于直线的倾斜角为60，所以斜率ktan 60.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b3或b3，故所求直线方程为yx3或yx3.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且在y轴上的截距是5的直线方程解：直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 3
7、0.所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.利用直线的斜截式方程判断两直线位置关系典例(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？解(1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直对于不能用斜截式方程表示的直线，判断它们的位置关系时，需注意：(1)若两条直线的斜率均
8、不存在，则有l1l2或l1与l2重合(2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l1l2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直活学活用1已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_.解析：由题意可知a(a2)1，解得a1.答案：12若直线l1：yx与直线l2：y3x1互相平行，则a_.解析：由题意可知解得a.答案：层级一学业水平达标1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选C直线方程y2x1可化为y(2
9、)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.2已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：选D直线的倾斜角为60，则其斜率为，利用斜截式得yx2.3直线yb2(xa)在y轴上的截距为()Aab B2abCb2a D|2ab|解析：选C由yb2(xa)，得y2x2ab，故在y轴上的截距为b2a.4将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为()Ayx Byx1Cy3x3 Dyx1解析：选A将直线y3x绕原点逆时针旋转90，得到直线yx，再向右平移1个单位，所得到的直线为y(x1)，即yx.5直线y2mm(x1
10、)与yx1垂直，则直线y2mm(x1)过点()A(1,2) B(2,1)C(1，2) D(1,2)解析：选C由两直线垂直得m1，把m1代入y2mm(x1)得过点为(1，2)故选C.6设aR，如果直线l1：yx与直线l2：yx平行，那么a_.解析：由l1l2得且，解得a2或a1.答案：2或17直线yx4在y轴上的截距是_解析：由yx4，令x0，得y4.答案：48直线yk(x2)3必过定点，该定点为_解析：将直线方程化为点斜式得y3k(x2)，过定点(2,3)答案：(2,3)9求满足下列条件的m的值(1)直线l1：yx1与直线l2：y(m22)x2m平行；(2)直线l1：y2x3与直线l2：y(2
11、m1)x5垂直解：(1)l1l2，两直线斜率相等m221且2m1，m1.(2)l1l2，2m1.m.10直线l过点(2,2)，且与x轴和直线yx围成的三角形的面积为2，求直线l的方程解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，经检验符合题目的要求当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x2)，即ykx2k2.令y0得，x.由三角形的面积为2，得22.解得，k.可得直线l的方程为y2(x2)，综上可知，直线l的方程为x2或y2(x2)层级二应试能力达标1过点(1,3)且平行于直线y(x3)的直线方程为()Ay3(x1) By3(x1)Cy3(x1) Dy3(x1)解析：选C由直线y(x3)
12、，得所求直线的斜率等于，其方程为y3(x1)，选C.2直线l1：yaxb与直线l2：ybxa(ab0，ab)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()解析：选D对于A选项，由l1得a0，b0，b0，矛盾；对于B选项，由l1得a0，而由l2得a0，b0，矛盾；对于C选项，由l1得a0，b0，而由l2得a0，矛盾；对于D选项，由l1得a0，b0，而由l2得a0，b0.故选D.3若ya|x|与yxa(a0)有两个公共点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1C D0a1解析：选Ayxa(a0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a0)的直线，ya|x|表示关于y轴对称的两条射线当01时，有两个公共点，故选
13、A.4若原点在直线l上的射影是P(2,1)，则直线l的方程为()Ax2y0 By12(x2)Cy2x5 Dy2x3解析：选C直线OP的斜率为，又OPl，直线l的斜率为2.直线的点斜式方程为y12(x2)，化简，得y2x5，故选C.5与直线2x3y50平行，且与x，y轴交点的横、纵坐标之和为的直线l方程为_解析：设l：2x3yc0，令x0，则y，令y0，则x，c1.答案：2x3y106给出下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程其中正
14、确结论的序号为_解析：不正确方程k不含点(1,2)；正确；正确；只有k存在时成立答案：7(1)已知直线l过点(1,0)，且与直线y(x1)的夹角为30，求直线l的方程(2)已知在ABC中，A(1，4)，B(2,6)，C(2,0)，ADBC于点D，求直线AD的方程解：(1)直线y(x1)的斜率为，其倾斜角为60，且过点(1,0)又直线l与直线y(x1)的夹角为30，且过点(1,0)，如图所示，易知直线l的倾斜角为30或90.故直线l的方程为y(x1)或x1.(2)由题意知，kBC.因为ADBC，所以直线AD的斜率存在，且kAD.故直线AD的方程为y4(x1)8已知直线l与直线yx垂直，并且l与两坐标轴围成三角形的面积为24，求直线l的方程解：因为直线l与直线yx垂直，所以设直线l的方程为yxb.令y0，得xb，令x0，得yb.由题意，得|b|24，所以b236，即b6，故所求直线l的方程为yx6或yx6.