1、复习课(一)空间几何体及点、线、面的位置关系空间几何体的三视图、表面积与体积(1)空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质(2)空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题1三视图的画法规则(1)正、俯视图都反映了物体的长度“长对正”；(2)正、侧视图都反映了物体的高度“高平齐”；(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度“宽
2、相等”2表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和(2)旋转体的表面积：S圆柱2rl2r2；S圆锥rlr2；S圆台(Rr)lr2R2.3体积(1)柱体：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)(2)锥体：V锥体Sh(S为底面面积，h为高)(3)台体：V台体(SS)h.其中S，S分别表示台体的上、下底面面积典例(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A5 B52C42 D42(2)给出下列命题：在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；球的直径是连接球面上两点的线段；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_(
3、3)(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析(1) 如图所示，该几何体的表面积S111122(12)15，故选A.(2)正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；错误，因为球的直径必过球心；错误，必须是相邻的两个侧面(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，V21121212.答案(1)A(2)(3)2 类题通法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的
4、线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积1下列说法正确的是()A用一平面去截圆台，截面一定是圆面B在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D圆台的母线可能平行解析：选C对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线对于D，圆台的母线不可能平行2某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是()解析：选A该几
5、何体是由圆柱切割得到的，由俯视图可知正视方向和侧视方向，可进一步画出正视图和侧视图，如图所示，故选A.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S为_解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以S2(413143)2238.答案：38与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，属于低档题球的表面积与体积(1)球的表面积公式S球4R2.(2)球的体积公式V球R3.典例(1)如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BC
6、D，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3C. D2(2)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_解析(1)如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO，所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V3.(2)由正视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段
7、长为球的半径，则R222(其中R为球的半径)，则球的表面积S4R24.答案(1)A(2)类题通法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的1(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.C. D.解析：选B设圆柱的底面半径为r，则r2122，所以圆柱的体积V1.2设A，B，C，D是球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB3，AC4，AD，则球的表面积为()
8、A36 B64C100 D144解析：选A三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥ABCD的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R，则2R6，故R3，外接球的表面积S4R236，故选A.空间点、线、面位置关系的判断与证明空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查常以选择、解答题形式出现，难度中档1判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：a，a，bab.(4)利用面面平行的性质定理：，a，bab.(5)利用线面垂直的
9、性质定理：a，bab.2判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a与平面没有公共点，往往借助反证法(2)利用直线和平面平行的判定定理：a，b，aba.(3)利用面面平行的性质的推广：，aa.3判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a，a.(4)平行于同一平面的两个平面平行，即，.4证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面符号表示：a，lal.(其中“”表示“任意的”)(2)利用线面垂直的判定定理：若一
10、条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：lm，ln，m，n，mnPl.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面符号表示：ab，ab.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面符号表示：，l，m，mlm.5证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直符号表示：l，Ol，OA，OB，OAl，OBl，AOB90.(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直符号表示：l，l.典例如
11、图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折叠，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由解(1)证明：由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC，GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理：FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)取线段AE的中点R，则平面BDR平面DCB.取线段DC的中点
12、M，取线段DB中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MS綊BC，又RE綊BC，MS綊RE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.类题通法1平行、垂直关系的相互转化2证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论1已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题
13、中正确的是()A若m，n，则mn B若，则C若m，m，则 D若m，n，则mn解析：选D平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以答案选D.2.如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于O所在的平面，AEPB于E，AFPC于F，因此，_平面PBC.(填图中的一条直线)解析：AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，BCAC.PA垂直于O所在的平面，BCPA，又PAACA，BC平面PAC.AF平面PAC，AFBC.又AFPC，
14、BCPCC，AF平面PBC.答案：AF3.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A
15、1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.空间角求法空间角包括异面直线所成角、线面角、二面角，常以选择、填空、解答题形式考查，难度中档以上主要考查转化思想与空间想象能力1异面直线所成角的求法(1)一作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角，常用直接平移法、中位线平移法和补形平移法；(2)二证：证明作出的角就是所要求的角；(3)三计算：一般通过构造三角形来求角2求直线与平面所成角的方法(1)确定点在平面内的射影的位置是解题的关键
16、只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解(2)求斜线与平面所成角的一般步骤：寻找(或作出)过直线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得出射影，确定所求角；把该角放在三角形中计算(3)当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是90；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角是0.3二面角的平面角的确定(1)用定义法来确定二面角的平面角：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”点，是为了方便计算平面角的大小)(2)垂面法：过二面角棱上一点，作棱的垂直平面，该平面与
17、二面角的两个半平面分别相交得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，可找到二面角的平面角或其补角此种方法通用于求二面角的所有题目4求二面角的大小一作，作二面角的平面角；二证，证明该角是所求二面角的平面角；三计算，解三角形，确定平面角的大小典例如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小解(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BCCB，OCAB.又ABBOB，OC平面ABO
18、.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30.即AO与AC所成的角为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE.由题知OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE ，tanOAE.(3)由(1)知OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的角为90.类题通法求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算但要注意角的范围1.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1AB2.(1)求证：A1C平面AB1D；(2)求二面角DAB1B的平面
19、角的余弦值解：(1)证明：连接A1B交AB1于E，连接ED，E，D分别是A1B，BC的中点，A1CED.又A1C平面AB1D，ED平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)过D作AB的垂线，垂足为F，则DF，且DF平面AB1B，过F作AB1的垂线，垂足为G，则FG，连接GD，则FGD就是二面角DAB1B的平面角，且GD，cosFGD，即二面角DAB1B的余弦值为.2(2017浙江高考)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解：(1)证明：如图，
20、设PA的中点为F，连接EF，F B.因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EFAD且EFAD.又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.因为BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ，BN.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNA D.由DCAD，N是AD的中点得BNA D.又PNBNN，所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN，故平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.