1、2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆x2a2+y25=1(a5)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则椭圆的离心率为()A.13B.33C.22D.12解析因为2x2+3y2=m(m0),所以x2m2+y2m3=1.所以c2=m2-m3=m6.故e2=13,解得e=33.答案B3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A
2、.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由题意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案A4.已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.32B.2C.52D.3解析由题意可得:e2=a2-1a2=2552,据此可得:a2=5,椭圆方程为y25+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则y02=5(1-x02),故|PB|=(x0+1)2+y02=(
3、x0+1)2+5(1-x02)=-4x02+2x0+6,当x0=14时,|PB|max=52.答案C5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点、上顶点分别为A、B,坐标原点到直线AB的距离为433,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.x28+y24=1B.y28+x24=1C.y216+x28=1D.x216+y28=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-bax+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为aba2+b2=433,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为x216+y28=1,故选D.答
4、案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成32两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故离心率为e=ca=15.答案157.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.a2=b2+c22bc=4,a2,当且仅当b=c=2时等号成立.2a4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为210,又椭圆的离心率为155,则椭圆的标准方程是.解析由题意,得2ab=210,即a
5、b=10.又e2=c2a2=a2-b2a2=1525=35,即2a2=5b2.解得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为x25+y22=1.答案x25+y22=19.若椭圆的长轴长是10,离心率是45,求该椭圆的标准方程.解设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0).由已知得2a=10,e=ca=45,所以c=4.所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为x225+y29=1或x29+y225=1.10.已知椭圆x24+y23=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说
6、明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2x2),则(x-1)2+y2=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2x2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)解析椭圆的标准方程为x22+y22k=1,焦点在y轴上,2k2,解得k0,0kb0)的
7、两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.32B.12C.22D.3-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,F1AF2=90.因为F2AB是等边三角形,所以AF2F1=30.故AF1=c,AF2=3c,因此e=ca=2c2a=2cc+3c=3-1.答案D3.若椭圆两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且PF1F2的最大面积是12,则椭圆的标准方程是()A.x236+y220=1B.x228+y212=1C.x225+y29=1D.x220+y24=1解析由题意得c=4.因为点P在椭圆上,且
8、PF1F2的最大面积为12,所以122cb=12,即bc=12,于是b=3,a=5,故椭圆方程为x225+y29=1.答案C4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2(m+k)(n+k)B.(m+k)(n+k)C.mnD.2mn解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(n+k).所以椭圆的短轴长为2(m+k)(n+k).答案A5.已知点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b
9、2=1(ab0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32解析点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2a2b2=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故选C.答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率00,所以a21,故1a2,长轴长2b0),半焦距为c,则
10、2a=12,ca=32,所以a=6,c=33.所以b2=a2-c2=36-27=9,故椭圆G的方程为x236+y29=1.答案x236+y29=18.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1PF2=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF1PF2=x02-c2+b21-
11、x02a2=c2,解得x02=(3c2-a2)a2c2.因为x0-a,a,所以x020,a2,即0(3c2-a2)a2c2a2,所以2c2a23c2.即13c2a212,所以33ca22,即椭圆离心率的取值范围是33,22.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为42.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)焦距为2,ABF1的周长为42,c=1,4a=42,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=2.椭圆C的标准方程为x2
12、2+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立x=my+1,x2+2y2=2,得(m2+2)y2+2my-1=0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,|AB|=4|F2A|,|BF2|=3|F2A|,y2=-3y1.联立y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,y2=-3y1.解得m=1.直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.10.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(
13、2)设直线y=2x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值.解(1)|PF1|+|PF2|=4,2a=4,即a=2.e=ca=22,c=2,b2=a2-c2=2,即椭圆方程为x24+y22=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=2x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+42nx+2n2-4=0,=32n2-20(2n2-4)0,n210,x1+x2=-42n5,x1x2=2n2-45,|AB|=1+2(x1+x2)2-4x1x2=26510-n2,点O到直线AB的距离d=|n|3,SOAB=12|AB|d=1226510-n2|n|3=25(10-n2)n22512(10-n2+n2)=2,当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,OAB面积的最大值为2.7