1、20092013年高考真题备选题库第5章 数列第3节 等比数列及其前n项和考点一 等比数列的通项公式1（2013新课标全国，5分）等比数列an的前n项和为Sn.已知S3 a2 10a1 ，a59，则a1()A. BC. D 解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力由题知q1，则S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选C. 答案：C2（2013北京，5分）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力q2，又a
2、2a420，故a1qa1q320，解得a12，所以Sn2n12.答案：22n123.（2013湖北，12分）已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由解：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1，或an5(1)n1.(2)若an3n1，则n1，故是首项为，公比为的等比数列，从而1.若an
3、5(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有0a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案：2n5（2010福建，4分）在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.解析：在等比数列an中，前3项之和等于21，21，a11，an4n1.答案：4n16(2011新课标全国，12分)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解：(1)设
4、数列an的公比为q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，得a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2()2(1)()().所以数列的前n项和为.考点二 等比数列的前n项和1（2013辽宁，5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况由题意得，a1a35，a1a34，由数列是递增数列得，a11，a34，所以q2，代
5、入等比数列的求和公式得S663.答案：632（2013湖北，13分）已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式，也考查了分类讨论思想(1)设数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2
6、)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k53（2013陕西，12分）设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设
7、an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列4（2010广东，5分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35B33C31 D29解析：设数列an的公比为q，a2a3aq3a1a42a1a42，a42a7a42a4q324q32q，故a116，S531.答案：C5（2010安徽，5分）设an是任意等比数列，它的前n
8、项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XZ DY(YX)X(ZX)解析：根据等比数列的性质：若an是等比数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，即X，YX，ZY成等比数列，故(YX)2X(ZY)，整理得Y(YX)X(ZX)，故选D.答案：D6（2010辽宁，5分）设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5()A. B.C. D.解析：显然公比q1，由题意得，解得，S5.答案：B7（2010天津，5分）已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前
9、5项和为()A.或5 B.或5C. D.解析：由题意可知，解得q2，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得S5.答案：C8(2009辽宁，5分)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C. D3解析：由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，由S63S3，可推出S9S64S3，S97S3，.答案：B考点三 等比数列的性质及应用1（2013江西，5分）等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0C12 D24解析：选A本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况由等比数列的前三项为x,3x3,6x
10、6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.2（2013江苏，5分）在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力设等比数列an的公比为q(q0)由a5，a6a73，可得(qq2)3，即q2q60，所以q2，所以an2n6，数列an的前n项和Sn2n525，所以a1a2an(a1an)2，由a1a2ana1a2an可得2n5252，由2n52，可求得n的最大值为12，而当n13时，2825
11、213不成立，所以n的最大值为12.答案：123（2012新课标全国，5分）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5C5 D7解析：设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.答案：D4（2010北京，5分）在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m()A9 B10C11 D12解析：由题知am|q|m1a1a2a3a4a5|q|10，所以m11.答案：C5（2012浙江，4分）设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.解析：S4S2a3a43(a4a2)，a2(qq2)3a
12、2(q21)，解得q1(舍去)或q.答案：6(2011江西，12分)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解：(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.