1、22等差数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系(重点、难点)2熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个(重点)3能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题(易混点)1通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养2通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养等差数列的前n项和公式阅读教材P15P16“例7”以上部分，完成下列问题：(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d(2
2、)等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，Sna1(a1d)(a12d)a1(n1)d，Snan(and)(an2d)an(n1)d，由得由此得等差数列前n项和公式Sn，代入通项公式ana1(n1)d得Snna1d(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数可得Snn2n思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？提示不一定，当公差d0时，前n项和是n的二次函数，当公差d0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？提示求等差数列的前n项和时，若已知
3、首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式1已知等差数列an的首项a11，公差d2，则前10项和S10()A20 B40C60 D80D由公式Snna1d得S10101(2)802Sn123n_由题知等差数列的首项a11，末项ann由前n项和公式得Sn3已知等差数列an中，a12，a178，则S17_85S1717(28)854已知等差数列an中，a11，S864，则d_2S88187d64，解得d2与Sn有关的基本量的运算【例1】在等差数列an中，(1)已知a316，S2020求S10；(2)已知a1，d，Sn15，求n及a12；(3)已知a1a2a3a44
4、0，an3an2an1an80，Sn210，求项数n解(1)设等差数列an的公差为d，则有解得所以S10102020090110(2)因为Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)4(3)因为a1a2a3a440，an3an2an1an80，所以4(a1an)4080，即a1an30又因为Sn210，所以n14等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.(2)利用等差数列的性质解题.
5、等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式Snf(n(a1an),2)结合使用.1等差数列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d8，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an解(1)由ana1(n1)d且a1105，d7，得994105(n1)7，解得n128，Sn70 336(2)an8n2，a110，又d8，S2020a182010101981 720(3)将d，n37，Sn629代入ana1(n1)d，Sn，得解得等差数列前n项和公式在实际中的应用【例2】习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”
6、新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向宁德某新能源公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目，第一年该项目维修保养费用为24万元，以后每年增加8万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入假设第n年底，该项目的纯利润为f(n)(纯利润累计收入累计维修保养费投资成本)(1)写出f(n)的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：年平均利润最大时，以72万元转让该项目；纯利润最大时，以8万元转让该项目；你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由解(1)由题意，每年的维
7、修保养费是以24为首项，8为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)100n1444n280n144.令f(n)4n280n1440，解得2n18，nN*，该项目从第3年开始盈利(2)按方案：年平均利润为804804232，当且仅当n，即n6时，取等号，按方案共获利63272264万元，此时n6.按方案：f(n)4n280n1444(n10)2256，当n10时，f(n)max256，按方案，共获利2568264万元，此时n10.因为两种方案都获利264万元，但方案只需6年，而方案需要10年，故选择方案最合算应用等差数列解决实际问题的一般思路2(1)甲、乙两物体分别从相距70
8、 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后_分钟相遇(2)为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m?(1)7设n分钟后相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400解之得n7，n20(舍去)所以相遇是在开始运动后7分钟(2)解将李强每一天跑的路程记为数列an，由题意知，an是等差数列，则a15 000 m，公差d400 m所以S1010a1d，105 0004540068 000(m)，故李强10天一共跑了68
9、000 m等差数列前n项和的性质【例3】(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A130 B170C210 D260(2)已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则_(1)C(2)(1)利用等差数列的性质：S3，S6S3，S9S6成等差数列所以S3(S9S6)2(S6S3)，即30(S9100)2(10030)，解得S9210(2)由等差数列的性质，知巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.,若an为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.
10、(3)项的个数的“奇偶”性质.,an为等差数列，公差为d.若共有2n项，则S2nn(anan1)；若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；(4)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，,则Smn(mn).(5)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn0.3(1)在等差数列an中，若S41，S84，则a17a18a19a20的值为()A9 B12C16 D17(2)等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为_(1)A(2)75(1)由等差数列的性质知S4，S8S4，S12S8，也构成等差数列，不妨设为bn，且b1S41，b2S8S43，于是求得b35，b
11、47，b59，即a17a18a19a20b59(2)因为an2n1，所以a13，所以Snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列的前10项和为310175等差数列前n项和的最值探究问题1(1)等差数列an的前n项和Snn24n，求Sn的最小值；(2)等差数列an的前n项和Snn23n，求Sn的最小值提示(1)Snn24n(n2)24，所以当n2时，Sn的最小值为4(2)Snn23n，因为nN，所以当n2或n1时，Sn的最小值为S2S122(1)在等差数列an中，若a50，a60，则其前多少项的和最大？(2)在等差数列an中，若a50，a60，其前n项和有最大值还是有最小
12、值？并表示出这个最大值或最小值提示(1)前5项的和S5最大(2)因为a50，a60，故其公差d0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5S63在等差数列an中，若d0，S100，则其前多少项的和最大？提示S1010(a1a10)5(a1a10)0，故a1a10a5a60，因为d0，所以a50，a60，所以S5最大【例4】在等差数列an中，a1018，前5项的和S515(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函
13、数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解解(1)由题意得得a19，d3，an3n12(2)法一：Sn(3n221n)，当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418法二：设Sn最小，则即解得3n4，又nN，当n3或4时，前n项和的最小值S3S4181(变条件)把例4中的条件“S1515”改为“S5125”，其余不变，则数列an的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值解S55(a1a5)52a35a3125，故a325，a10a37d，即d10，故Sn有最大值，ana3(n3)d28n设Sn最大，则解得27n28，即S27和S28最大，又a127，故S27
14、S283782(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn0，求n解法一：因为S3S418为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x，所以当x0或x7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又nN，所以S70，所以n7法二：因为S3S4，所以a4S4S30，故S77(a1a7)7a40，所以n7等差数列前n项和的最值问题的两种解法(1)利用an：当a10，d0时，前n项和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；当a10，d0，前n项和有最小值，可由an0且an10，求得n的值.(2)利用Sn：由，利用二次函数配方法求取得最值时n的值.1等差数列的两个求和公式中，一共涉及a
15、1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好2数列an的前n项和为Sn，则an1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和()(3)若数列an的前n项和为Snn22n1，则数列an一定不是等差数列()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列n2不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确2在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是()A12 B24C36 D48BS1010(a1a10)5(a1a10)120，故a1a10243在等差数列an中，S10120，且在这10项中，(其中S奇与S偶分别表示奇数项的和与偶数项的和)，则公差d_2由得所以S偶S奇5d10，所以d24在等差数列an中，(1)已知a5a1058，a4a950，求S10；(2)已知S742，Sn510，an345，求n解(1)由已知条件得解得S1010a1d103454210(2)S77a442，所以a46所以Sn510，所以n20