1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）第I卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可【详解】，复数是纯虚数，且得且，即，故选D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题2.已知集合A=x|2x4，B=x|y=lg（x2），则
2、A（RB）=（）A. （2，4）B. （2，4）C. （2，2）D. （2，2【答案】D【解析】【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可【详解】B=x|x2；RB=x|x2；A（RB）=（2，2故选D【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算3.“”是“” 的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以 ，所以“”是“” 的充要条件，选A.4.若an等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9()A. 39B. 20C. 19.5D. 33【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，
3、纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【详解】由等差数列得： 所以 同理：故选D.【点睛】本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.5.函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】当时，函数为增函数；函数图象的开口向上，对称轴为，且与y轴的交点为，排除B当时，函数为减函数；函数图象的开口向下，对称轴为，与y轴的交点为，排除C,D，故A正确选A6.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
4、【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为 ，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.已知向量，且，则A. 2B. C D. 【答案】B【解析】【分析】向量平行：內积等于外积【详解】【点睛】本题结合向量考查向量与两角差的正切值向量平行：內积等于外积8.已知命题，命题“”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当时，当时，为假命题；，即“”是“”
5、的必要不充分条件，为真命题；因此为假，为假，为真，为假，所以选C.考点：复合命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件9.将函数图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的倍,再把所得的图像沿轴向右平移个单位,这样所得的曲线与的图像相同,则函数的表达式是( )A. B. C. D. 【
6、答案】B【解析】【分析】采用逆推方法可以求得结果.【详解】由题意可得，把的图像向左平移个单位，即；再把所得图像上各点横坐标缩为原来的，即可以得到函数图像，即.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，平移变换时，明确平移方向和平移单位是解决平移问题的关键.10.已知A，B是圆心为，半径为的圆上两点，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，是圆心为，半径为的圆上两点，且，可得是等边三角形再利用数量积定义即可得出【详解】解：，是圆心为，半径为的圆上两点，且，是等边三角形则故选：【点睛】本题考查了圆的性质、数量积定义、等边三角形的性质，属于基础题11.满足约束条件
7、,若目标函数的最大值为12，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数何时取最大值，进而找到之间的关系式然后可得，化简变形用基本不等式即可求解【详解】不等式组表示的平面区域如图，由得点B坐标为B（4,6）.由图可知当直线经过点B（4,6）时，Z取最大值因为目标函数的最大值为12，所以即 所以当且仅当即时，上式取“=”号所以当时，取最小值故选A【点睛】利用基本不等式可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”当都取正值时，（1）若和取定值，则积有最大值；（2）若积取定值时，则和 有最小值12.已知双曲线的左、右两个焦点分别
8、为，为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为( ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点，再由两点的斜率公式，得到的关系，再由离心率公式即可得到所求值详解：双曲线的渐近线方程为 以为代入圆的方程，可得，（负的舍去）， ，即有 又 ，由于，则直线的斜率为 又，则 ，即有 ，则离心率 故选B点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题第卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量，若，则_.【答案】
9、10【解析】【分析】根据，得到关于的方程，解出，再根据数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量，因为，所以，解得所以所以【点睛】本题考查向量的平行关系，向量数量积的坐标运算，属于简单题.14.函数的最大值为【答案】9【解析】【分析】由同角三角函数基本关系将函数整理成二次函数的形式，再配方即可求解.【详解】因为，又，所以，所以当时，取最大值为9.【点睛】本题主要考查配方法求函数最大值的问题，属于基础题型.15.在四面体中，两两垂直，且，则该四面体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由球的对称性及两两垂直，可将四面体补形为,由已知求出外接球的球心，可得其表面积.【详解】解：由球的对称性及
10、两两垂直，可将四面体补形为,长方体的对称中心即为外接球的球心，设球的半径为,可得：, ,可得其表面积为：.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题，相对不难，将四面体补形为长方体，利用长方体的外接球的性质求出半径是解题的关键.16.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有且当时，则_.【答案】【解析】【分析】由已知可得函数是以4为周期的周期函数，且是定义在上的偶函数可得，求出与的值，可得答案.【详解】解：由已知函数对于，都有，可得，即当时，函数是以4为周期的周期函数，又函数是定义在上的偶函数，可得，故可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的综合应用，其中根据已知条件得出
11、函数为周期是4的周期函数是解题关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为元，已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在的红包个数为，求的分布列和期望【答案】（1）,众数为2.5（2）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质
12、可得，解得，众数为2.5；（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则，根据二项分布概率计算公式得分布列及期望.【详解】（1）由题可得：，众数为2.5.（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则.X的取值为0,1,2,3，,X的分布列为X0123P（或）【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.的内角A、B、C所对的边分别为，且求角C；求的最大值【答案】2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到；（2）由第一问得到原式等价于，化简后为，再根据角的范围得到三角函数的范围即可解析：即由余弦定
13、理（2）由题意可得的最大值为219.在多面体中，四边形是正方形，.（） 求证：平面；（）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为.【答案】（）见解析（）当点满足时，平面与平面所成角的大小为.【解析】【详解】试题分析：（）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可证明平面.（）由（）可得，平面，则平面平面如图，过点作平面的垂线，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面的一个法向量，令，得.易知平面的一个法向量.由向量的夹角公式 ， 化简得，即当点满足时，平面与平面所成角的大小为.试题解析：（）四边形是正方形，.在中，即得，即，在梯形中，
14、过点作，交于点.，在中，可求， ，.又，平面，（）由（）可得，平面，又平面，平面平面如图，过点作平面的垂线，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， ，.设，则. 设平面的一个法向量，则，即令，得.易知平面的一个法向量.由已知得 ， 化简得，.当点满足时，平面与平面所成角的大小为.20.已知椭圆 的左、右两个焦点分别为，上项点 是正三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标.【答案】（1）（2）的最小值为， 的坐标为.【解析】【分析】（1）由题得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先求出坐标为
15、.再根据求的最小值，再联立直线方程求点P的坐标.【详解】（1）由题意的 解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为是正三角形，可得直线的斜率为，所以直线的方程为. 设点关于直线的对称点为，则，解得，可得坐标为.因为，所以.所以的最小值，直线的方程为，即.由 解得 ，所以此时点的坐标为 .综上所述，可求的最小值为，此时点的坐标为.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设函数，.（1）当时，证明在是增函数；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将代入，对求导
16、，利用导函数的性质可证明在是增函数；（2）对进行讨论，求出函数的最小值，使函数的最小值大于等于零，从而求得的取值范围.【详解】解：（1）由题意得 .当时，.令，则.当时，所以在为增函数.因此时，所以当时，则在是增函数. （2）由.由（1）知，当且仅当等号成立.故，从而当，即时，对，.于是对.满足题意，由得，从而当时，.故当时，.于是当时，.不满足题意，综上，a的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数证明函数的单调性及利用导数解不等式求参数，综合性大，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴
17、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点在上，直线经过点且与直线垂直.（1）求直线的极坐标方程；（2）已知点在曲线上运动（异于点），射线交直线于点，求线段的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示、两点，运用中点坐标公式求解.【详解】解析：（1）由题知，故点的直角坐标为，由知直线的倾斜角为，故直线的直角坐标方程为，所以其极坐标方程为即；（2）由题知可设，其中，则中点的极坐标为，由在曲线上得，由在直线上得，故中点的极坐标为，所以中点轨迹的极坐标方程为.【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化
18、，属于中档题.23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围【答案】（） ，或 （）或 【解析】试题分析：（1）主要考查了含绝对值不等式的解法.当时，这里可采用零点分段法即可解出不等式的解集.（2）不等式的解集包含，易知当x1，3时，不等式f（x）|x6|恒成立，适当变形为|xa|x6|x5|=6x（5x）=1，即得|xa|1在x1，3恒成立.试题解析：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）3，即|x3|+|x5|3，或 ，或解求得x；解求得x；解求得x综上可得，不等式f（x）3的解集为x|x，或 x（2）若不等式f（x）|x6|的解集包含1，3，等价于当x1，3时，不等式f（x）|x6|恒成立，即|xa|+|x5|x6|恒成立，即|xa|x6|x5|=6x（5x）=1恒成立，即|xa|1 恒成立，xa1，或 xa1恒成立，即ax1，或ax+1 恒成立，a0，或a4综上可得，a0，或a4