1、第五节 和、差、倍角的三角函数(1)基础梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 C(a-b)：cos(a-b)=_；C(a+b)：cos(a+b)=_；S(a+b)：sin(a+b)=_；S(a-b)：sin(a-b)=_；T(a+b)：tan(a+b)=_；T(a-b)：tan(a-b)=_.cos acos b+sin asin bcos acos b-sin asin bsin acos b+cos asin bsin acos b-cos asin b1tantantan tanabab1tantantan tanabab2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2a：sin 2a=_；C
2、2a：cos 2a=_=_=_；T2a：tan 2a=_.2sin acos acos2a-sin 2a2cos2a-11-2sin2a212tantanaa基础达标 1.(2010福建改编)sin43cos13-sin13cos43 的值为_ 解析：原式=sin(43-13)=sin30=1.22.sin105cos105的值为_ 解析：sin105cos105=-sin75cos75 =-12 sin150=-1.43.(必修4P97例6改编)若 13cos(),cos(),55abab则 tantan_.ab 解析：因为 1cos()coscossinsin,5ababab1tantan
3、.2sin sincos cosababab3cos()coscossinsin,5ababab所以 21coscos,sinsin,55abab因此 4.函数y=sinx+cos 的最大值和最小值分别为_ 6x解析：33sincos cossin sinsincos3sin().66226yxxxxxx3;当x=2k +时，ymax=3(kZ)3;当x=2k -时，ymax=235.(必修4P97第7题改编)设 330,sin,sin(),255abaab则sin 的值为_ b解析：30,.222abab3344sin,sin(),cos,cos(),5555aabaab 又24sinsin
4、()sin()coscos()sin.25babaabaaba经典例题题型一 化简求值【例1】求2sin50+sin10(1+tan 10)32280sin的值 分析：50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的 和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其 值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分 以去掉非特殊角 解：原式=103102501028010cossinsinsinsincos 131010222502102 cos1010cossinsinsincos sin50cos10+sin10cos(60-10)2 2sin(50+10)=2 232 26.2变式1-1
5、求sin50(1+tan10)的值.3解析：原式=sin50 101031013sin501010sincossincoscos 2404024080sin501.101010sincossinsincoscoscos题型二 给值求角1122，ab、【例2】已知 为锐角，向量a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，c=baab求角 的值 2-b a22，.若a b=a c=314，及a，b，c的坐标，可求 22，由a b=a c=314，分析出关于a、b的三角函数值，进而求出角 解：a b=aabb（cos,sin）(cos,sin)2),2ababab=cos cossin
6、sincos(（1）111131.(2)22224aaaa（cos,sin）(,-)=cossina c=0,0,.2222abab由得 ,4ab 由得 .6a 又 、为锐角，ab5.12b 从而 22.3ba变式2-1 已知 11tan,tan,73ab并且 均为锐角，求 ,a b2.ab11tan1,tan1,73ab解析：且 、均为锐角，ab0,4ab302.4ab又 223tan 2,41tantanbbb13274tan(2)1,1312174tantantantanababab2.4ab题型三 给值求值【例3】已知 226sinsincos2cos0,2aaaaa 求sin 的值
7、23a分析：对已知条件因式分解，求出tan ，再求得sin 、cos ，进而求解 aaa226sinsincos2cos0,aaaa解：(3sin2cos)(2sincos)0,aaaa3sin2cos0sincos0,aaaa或21tantan,32aa 或又 ,2a 2tan,3a 23sin,cos,1313aa221235sin 22sincos,cos22cos121.131313aaaaa 121535 312sin(2)sin 2coscos2sin.33313213226aaa 变式3-1(2010 全国)已知 是第二象限的角，a4tan(2),3a 则 tan_.a解析：由
8、4tan(2),3a 1tantan2,2aa 或得 4tan 2,3a 又 224tan 2,31tantanaaa 得 又 是第二象限的角，所以 a1tan.2a 链接高考(2010 北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f 的值；()3(2)求f(x)的最大值和最小值 知识准备：1.知道特殊角的函数值；2.会用倍角公式；3.会用配方法求函数最值 解析：(1)3239()2cossin4cos12.333344f (2)222()2(2cos1)(1 cos)4cos3cos4cos1.f xxxxxx2273(cos),33xxR因为cosx-1,1，所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=时，f(x)取最小值-2,37.3