1、第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例1. (2013扬州期末)已知向量a(2，1)，b(1，k)，若ab，则k_答案：2解析： ab， ab2k0，故k2.2. (2013盐城二模)若e1、e2是两个单位向量，ae12e2，b5e14e2，且ab，则e1、e2的夹角为_答案：解析： ab， ab0，即(e12e2)(5e14e2)0， 5e6e1e28e0， 56cos80，即cos. 0， .3. (2013福建)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_答案：5解析：本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长因为1(4)220，所以，所以四边
2、形的面积为5.4. (2013苏锡常镇一模)已知向量a、b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_答案：3解析：由|a|1，|2ab|，得|a|21，|2ab|210， 4|a|24ab|b|210，即4|a|24|a|b|cos45|b|210，也就是42|b|b|210，解得|b|3(负值已舍去)5. (2013常州期末)已知向量a、b满足a2b(2，4)，3ab(8，16)，则向量a、b的夹角的大小为_答案：解析：由a2b(2，4)，3ab(8，16)，可得a(2，4)，b(2，4)，ab，故两向量共线且反向，故夹角为.6. 已知正ABC的边长为1，73，则_答案：2解析：(73
3、)()47|23|2411cos732.7. (2013苏州期末)已知向量a、b满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的最小值为_答案：解析：设a与b的夹角为，0，因为|a|1，(ab)(a2b)0，所以a2ab2b20，即1|b|cos2|b|20，所以cos，所以11，即解得|b|1，故|b|的最小值为.8. 如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的最小值为_答案：1解析：取AB中点D，连结CD，则2， ()()()|221(2)2cos231cos，176cos， 当，0时，取得最小值为761.9. 如图所示，在平行四边形OADB中，向量a
4、，b，两条对角线交点为C，又，.(1) 试用a、b表示；(2) 若|，|a|2，|b|6，求平行四边形OADB的面积解：(1) ，而， ()()ab.(2) 由(1)|2a2b2ab. |a|2，|b|6，记AOB，则|222cos3，即cos， 平行四边形OADB的面积为266.10. 设平面向量a(cosx，sinx)，b(cosx2，sinx)，c(sin，cos)，xR.(1) 若ac，求cos(2x2)的值；(2) 若x，证明：a和b不可能平行；(3) 若0，求函数f(x)a(b2c)的最大值，并求出相应的x值(1) 解：若ac，则ac0.cosxsinsinxcos0，即sin(x
5、)0.所以cos(2x2)12sin2(x)1.(2) 证明：假设a和b平行，则cosxsinxsinx(cosx2)0，即2sinx0，sinx0.而x时，sinx0，矛盾故假设不成立，所以a和b不可能平行(3) 解：若0，c(0，1)，则f(x)a(b2c)(cosx，sinx)(cosx2，sinx2)4sin1， 当x2k(kZ)时，f(x)max5.11. (2013江苏)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1) 若|ab|，求证：ab；(2) 设c(0，1)，若abc，求、的值(1) 证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2) 解：因为ab(coscos，sinsin)(0，1)，所以由此得，coscos()，由0，得0，又0，故，代入sinsin1得，sinsin，而，所以，.