1、第二节空间几何体的表面积与体积考纲传真了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3
2、.2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内a，外接球半径R外a.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R
3、a.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cmD. cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A12 B23 C34 D13B设球的半径为R.则.4(教材改编)某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为()A6 B3 C2 D3B由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以几何体的体积VSh33.5如图，将一个长
4、方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_147设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.空间几何体的表面积【例1】(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48B48C482 D482(2)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10(1)A(2)B(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(
5、边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2222451221248，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.规律方法空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、
6、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积. (1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B12C2 D2(2)(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836B5418C90D81(1)C(2)B(1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中ABADCBCD，BD2，且平面ABD平面CBD.所以ABD与CBD都是等腰直角三角形，而ABC与CAD都是边长是的等边三角形所以表面积是2()222，故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两
7、个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.空间几何体的体积考法1公式法求体积【例2】(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1 D.3(2)(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_(1)A(2)(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ABC组成的，如图，三棱锥的高为3，底面ABC中，AB2，OC1，ABOC.故其体积V1232131.故选A.(2)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八
8、面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为()212.考法2割补法求体积【例3】(1)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36(2)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.(1)B(2)A(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的
9、体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.法二：(估值法)由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG，取AD的中点M，则MG，所以SAGD1，所以V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥所以V12
10、2.考法3等积法求体积【例4】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.A三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.规律方法求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.(3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高
11、较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. (1)(2019洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2B1 C.D.(2)(2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_(1)C(2)(1)几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为2121，故选C.(2)法一：连接A1C1交B1D1于点E(图略)，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D，所以A1E为
12、四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D1.法二：连接BD1(图略)，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1111111.球与空间几何体的切、接问题考法1外接球【例5】(1)(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.(2)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54
13、(1)B(2)B(1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B.(2)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.考法2内切球【例6】(1)(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
14、记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_(2)已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为_(1)(2)(1)设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.(2)正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B
15、，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解. (1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1B2C3D4(2)正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2，则它的外接球的表面积是()A16 B12 C8 D4(1)B(2)A(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC6，BC8，ACB90，则AB10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则半径r等于直角三角形A
16、BC的内切圆半径，即r2，故能得到的最大球的半径为2，故选B.(2)设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O(图略)，因为OAAC2，所以PO2.又OAOBOCOD2，由此可知R2，于是S球4R216.1(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28 D32C由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是2，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S222242428，故选C.2(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
17、有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr2525(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选B.3(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6C8 D8C连接BC1，AC1，AC.因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.4(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_14长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R2414.