1、第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用1. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2，x(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_台答案：150解析：由题意可得25xyy0.1x25x3 0000，解得x200或x150.2. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(min)后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降到40 需要20 min，那么这杯咖啡要
2、从40 降到32 ，还需_时间答案：10解析：由题设知Ta24，令T088，T40，t20，代入TTa(T0Ta)，得h10，令T040，T32，代入可得t10.3. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(min)为f(x)(A、c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_答案：60，16解析：当A4时，解得c60, A16；当A4时，无解4. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为_(参考数据：lg20.301 0，lg30.477 0)答案：14
3、解析：由(120%)nlog0.80.05，化简得n，解得n13.4，则n的最小值为14.5. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件答案：80解析：设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)220，当且仅当，即x80件时，取最小值6. 用总长为14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5 m，则它的最大容积为_答案：1.8 m3解析：设长方体的宽为x，则长为(x0.5)，则高为3.22x
4、，于是容积Vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，求导计算可得最大容积为1.8 m3.7. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及常数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)，这里x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_答案：解析：由条件得，(ca) 2(bc)(ba)， (ca)2(ba)(ac)(ba)，由cax(ba)， ba， (ca)2，由题意，ca0， 1，即x2x10， x.8. 如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边
5、长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则lS的最大值为_答案：解析：设正方形的边长为a(a1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹是由半径均为的四段圆弧、长度均为a1的四条线段围成的封闭图形，周长l4(a1)，面积Sa2，所以lSa24a4，a1，由二次函数知识得当a2时，lS取得最大值.9. 渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(空闲
6、率：空闲量与最大养殖量的比值)(1) 写出y关于x的函数关系式，并求其定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围解：(1) ykxkx(0xm)(2) y，当x时，y取到最大值ymax，即鱼群年增长量的最大值为.(3)由题意，0xym，则有0m，解得2k0，所以0k2.10. 在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克，1x5)满足：当1x3时，ya(x3)2(a、b为常数)；当3x5时，y70x490.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价
7、格为3元/千克时，每日可售出150千克(1) 求a、b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2) 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)解：(1) 因为x2时，y700；x3时，y150，所以解得a400，b300.每日的销售量y(2) 由(1)知， 当1x3时，每日销售利润f(x)(x1)400(x3)2(x1)300400(x37x215x9)300(10，f(x)单调递增；当x时f(x)700； 当3x5时，每日销售利润f(x)(70x490)(x1)70(x28x7)，f(x)在x4有最大值，且f(4)6
8、30f.综上，销售价格x1.67元/千克时，每日利润最大11. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得101 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.现有两个奖励方案的函数模型：(1) y2；(2) y4lgx3.试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由解：设奖励函数模型为yf(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x10，1 000时， f(x)是增函数； f(x)9恒成立； f(x)x恒成立. 对于函数模型f(x)2：当x10，1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1 000)22.从而f(x)x不恒成立故该函数模型不符合公司要求 对于函数模型f(x)4lgx3：当x10，1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1 000)4lg1 00039. 所以f(x)9恒成立设g(x)4lgx3，则g(x).当x10时，g(x)0，所以g(x)在10，1 000上是减函数，从而g(x)g(10)10，所以4lgx30，即4lgx3，所以f(x)x恒成立故该函数模型符合公司要求