1、第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点【选题明细表】 知识点、方法题号求函数的零点及零点区间1,2,3,4,6判断函数零点个数5,7,10函数零点的应用8,9,11,12,131.函数y=4x-2的零点是(D)(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)解析:令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2.下列图象表示的函数中没有零点的是(A)解析:因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.(2017长春外国语学校高一期末)函数f(x)=ln x+x2+a-1有唯一的零
2、点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是(A)(A)(-e2,0)(B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)解析:因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以解得-e2a0.故选A.4.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为(A)(A),(B),(C)0,(D),1解析:因为f()=+log20,所以f()f()0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是(B)(A)-1 (B)1 (C)-2 (
3、D)2解析:由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.7.方程|x2-2x|=a2+1(a0)的解的个数是.解析:因为a0,所以a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a0)有两个解.答案:28.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得或即或解得-m0,所以a0.10.(2018河北省唐山市一中调研)已知函数
4、f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(xR),当00.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.解析:作出f(x)的大致图象(图略).当xm时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m20.又m0,解得m3.答案:(3,+)12.(2018北京市丰台区综合练习)已知函数f(x)=(1)若a=0,x0,4,求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.解:(1)若a=0,则f(x)=当x0,1时,f(x)=-x2是减函数.所以-1f(x)0;当x(1,4时,f(x)=-1是增函数.所以0f(x)1.于是当x0,4时,f(x)的值域为-1,1.(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以解得a0.所以实数a的取值范围是(-,0).13.(2017朔州高一三模)已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,则实数b的取值范围是.解析:令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4b-3.答案:(-4,-3)
