1、2.3幂函数【选题明细表】 知识点、方法题号幂函数的定义2,4,6,12幂函数的图象3,7,10,14,15幂函数的性质1,5,8,9,11,12,131.(2018郑州外国语学校期中)已知-1,1,2,3,则使函数y=x的值域为R,且为奇函数的所有的值为(A)(A)1,3(B)-1,1(C)-1,3(D)-1,1,3解析:依据幂函数性质判断.2.下列结论中,正确的是(C)(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数取1,3,时,幂函数y=x是增函数(D)当幂指数=-1时,幂函数y=x在定义域上是减函数解析:当幂指数=-1时,幂函数y=x-
2、1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+)上都有定义,且y=x(R),y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当=-1时,y=x-1在区间(-,0)和(0,+)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.3.在下列四个图形中,y=的图象大致是(D)解析:函数y=的定义域为(0,+),是减函数.故选D.4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于(A)(A)-1(B)2(C)3(D)-1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以解得m=-1.故选A.5.设a=(),b=(),c=(),则a
3、,b,c的大小关系是(C)(A)abc(B)cab(C)abca解析:因为函数y=()x在R上是减函数,又,所以()(),即a,所以()(),即cb.所以ab0)的图象恒过定点.解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为 .解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.答案:19.已知函数f(x)=+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,+)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间1,3上的最大值和最小值.解:(1)
4、函数f(x)在区间(0,+)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+)上任意两个实数,且x1x10,所以x1+x20,x2-x10,(x1x2)20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是减函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间1,3上是减函数,所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.10.已知幂函数f(x)=kx的图象经过点(,),则k-等于(A)(A)(B)1(C)(D)2解析:由题意,根据幂函数的定义,可得k=1,函数f(x)=kx的图象经过点(,),可得=(),解得=,那么k
5、-=1-=.故选A.11.(2018六安市一中高一上期末)设幂函数f(x)的图象过点(,),设0a1,则f(a)与f(a-1)的大小关系是(A)(A)f(a-1)f(a)(C)f(a-1)=f(a)(D)不确定解析:设f(x)=x,则=(),即=3-,所以=-.所以f(x)=.因为0a1.又f(x)=在(0,+)上是减函数,所以f(a-1)f(a-1)的实数a的取值范围.解:(1)m2+m=m(m+1),mN*,而m与m+1中必有一个为偶数,所以m(m+1)为偶数.令m2+m=2k,kN*,则f(x)=.所以函数f(x)=(mN*)的定义域为0,+),并且在定义域上为增函数.(2)因为函数f(x)经过点(2,),所以=,即=.所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为mN*,所以m=1.由f(2-a)f(a-1)得解得1a(x1x20)的函数的个数是(A)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个名师点拨:由于本题所给函数均为幂函数,且待满足条件为f()与之间的关系,所以可借助幂函数图象求解.解析:函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1x20时,f()=;函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1x20时,f()x20时,f()x20时,f();在第一象限,函数f(x)=的图象是一条凹形曲线,故当x1x20时,f()x20时,f().故选A.