1、22.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识知识链接已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式来判断0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)的位置关系点 P 在椭圆上x20a2y20b21；点 P 在椭圆内部x20a2y20b21.2直线与椭圆的位置关系直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系判断方法：联立ykxm，x2a2y2b21.消 y 得到一个关于 x
2、的一元二次方程.位置关系解的个数 的取值相交两解0相切一解0相离无解b0)或y2a2x2b21(ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 1k2 x1x224x1x2.或 AB11k2 y1y224y1y2.其中，x1x2，x1x2 或 y1y2，y1y2 的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程得到要点一 直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆x24y271 上求一点 P，使它到直线 l：3x2y160 的距离最短，并求出最短距离解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y32xm，代入x24y271，并
3、整理得 4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为 y32x4 和 y32x4，显然 y32x4 距 l 最近 d|168|3222 81381313，切点为 P32，74.规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.这时直线的方程为 y212(x4)，即 x2y80.方法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136y2191，x2236y
4、2291，两式相减得x22x2136 y22y2190，整理得 kABy2y1x2x1 9x2x136y2y1，由于 P(4,2)是 AB 的中点，所以 x1x28，y1y24，于是 kAB 9836412，于是直线 AB 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.要点三 椭圆中的最值(或范围)问题例 3 已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由4x2y21，yxm 得 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0，解得 52 m 52.(2)设直线与椭圆交于
5、 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以 x1x22m5，x1x215(m21)，所以 AB x1x22y1y22 2x1x22 2x1x224x1x224m225 45m21 25 108m2.所以当 m0 时，AB 最大，此时直线方程为 yx.规律方法 解析几何中的综合性问题很多而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪演练 3 如图，点
6、 A 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴，ABAP9.(1)若点 P 的坐标为(0,1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围解 直线 AB 的斜率为 1，BAP45，即BAP 是等腰直角三角形，|AB|2|AP|.ABAP9，|AB|AP|cos45 2|AP|2cos459，|AP|3.(1)P(0,1)，|OP|1，|OA|2，即 b2，且 B(3,1)B 在椭圆上，9a2141，得 a212，椭圆 C 的标准方程为x212y24
7、1.(2)由点 P 的坐标为(0，t)及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t3)，t3b，即 b3t.显然点 B 的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：9a2t23t21，解得 a233t232t.a2b20，33t232t(3t)20.332t1，即332t1 2t32t0，所求 t 的取值范围是 0t0，m1 或 m0，m1 且 m3.3如图所示，直线 l：x2y20 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的离心率为_答案 2 55解析 由条件知，F1(2,0)，B(0,1)，b1，c2，a 2212 5，eca 252 55.4椭圆x212y231 的左焦点为 F
8、1，点 P 在椭圆上如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，那么点M 的纵坐标是_答案 34解析 由条件可得 F1(3,0)，PF1 的中点在 y 轴上，P 坐标(3，y0)，又 P 在椭圆x212y231 上得 y0 32，M 的坐标为(0，34)解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为 x1x2，x1x2 或 y1y2，y1y2，进而求解.一、基础达标1直线 ykx1
9、 与椭圆x25y2m1 总有公共点，则 m 的取值范围是_答案 1,5)(5，)解析 直线 ykx1 恒过(0,1)点，若 5m，则 m1，若 5m，则必有公共点，m1 且m5.2椭圆x225y291 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是_答案 9,1解析 因为 a5，c4，所以最大距离为 ac9，最小距离为 ac1.3已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是_答案 相离解析 把 xy30 代入x24y21，得x24(3x)21，即 5x224x320.(24)2453264b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2c，若直线 y 3(xc)与椭圆
10、 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案 31解析 由直线方程 y 3(xc)，得直线的倾斜角MF1F23，且过点 F1(c,0)，MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F13，即 F1MF2M，在 RtF1MF2 中，F1F22c，F1Mc，F2M 3c，由椭圆定义可得 2ac 3c，ca21 3 31.11已知椭圆 C1：x24y21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，OB 2OA，求直线 AB 的方程解(1)由已知可设椭圆 C2
11、 的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为 32，故 a24a 32，解得 a4.故椭圆 C2 的方程为y216x241.(2)方法一 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2.将 ykx 代入y216x241 中，得(4k2)x216，所以 x2B 164k2.又由OB 2OA，得 x2B4x2A，即 164k21614k2，解得 k1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.方
12、法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2.由OB 2OA，得 x2B1614k2，y2B 16k214k2.将 x2B，y2B代入y216x241 中，得 4k214k21，即 4k214k2，解得 k1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.12在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，3)，(0，3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C.(1)写出 C 的方程
13、；(2)设直线 ykx1 与 C 交于 A、B 两点，k 为何值时OA OB？此时 AB 的值是多少？解(1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C 是以(0，3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆它的短半轴长b22 321，故曲线 C 的方程为 x2y241.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2y241，ykx1.消去 y，并整理得(k24)x22kx30，故 x1x2 2kk24，x1x23k24.OA OB，x1x2y1y20.y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是 x1x2y1y23k24 3k2k24 2k2k2414k21k24.又 x1x2
14、y1y20，k12.当 k12时，x1x2 417，x1x21217.AB x2x12y2y12 1k2x2x12，而(x2x1)2(x2x1)24x1x2 42172412174313172，AB544313172 4 6517.三、探究与创新13已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0)、F2(1,0)，短轴的两个端点分别为 B1、B2.(1)若F1B1B2 为等边三角形，求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，且F1P F1Q，求直线 l 的方程解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0).根据题意知
15、a2b，a2b21，解得 a243，b213，故椭圆 C 的方程为x243y2131.(2)容易求得椭圆 C 的方程为x22y21.当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1).由ykx1，x22y21得(2k21)x24k2x2(k21)0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2 4k22k21，x1x22k212k21，F1P(x11，y1)，F1Q(x21，y2)因为F1P F1Q，所以F1P F1Q 0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k217k212k210，解得 k217，即 k 77.故直线 l 的方程为 x 7y10 或 x 7y10.