1、选修3-4第十一章振动和波相对论简介第1讲简谐运动受迫振动知识点 1简谐运动单摆、周期公式1简谐运动物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。2简谐运动的特征(1)动力学特征：回复力与位移大小成_比，总指向_。(2)运动学特征：x、v、a均按_(或余弦)规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。(3)能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。正平衡位置正弦3.简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆模型示意图模型弹簧振子单摆特点（1）忽略弹簧的_和摩擦力（2）弹簧对小球的弹力提供_（1）忽略细线的质量且不可_（2）小球的直径和摆角要_公式回复力_回复力_周期_质量回复力伸长
2、足够小F=-kx知识点 2简谐运动的公式和图像1.简谐运动的表达式(1)动力学表达式：Fkx，其中“”表示回复力与_的方向相反。(2)运动学表达式：xAsin(t)，其中A代表_，表示简谐运动的快慢，(t)代表简谐运动的相位，叫做_。位移振幅初相2简谐运动的图像(1)从_开始计时，函数表达式为xAsint，图像如图甲所示。(2)从_处开始计时，函数表达式为xAcost，图像如图乙所示。平衡位置最大位移知识点 3受迫振动和共振1.受迫振动(1)概念：振动系统在周期性_作用下的振动。(2)特点：受迫振动的频率等于_的频率，跟系统的固有频率_。驱动力驱动力无关2.共振（1）现象：当驱动力的频率等于系
3、统的_时，受迫振动的振幅最大。（2）条件：驱动力的频率等于_。（3）特征：共振时振幅_。（4）共振曲线：如图所示。固有频率固有频率最大【思考辨析】（1）机械振动就是简谐运动。()（2）弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速度最大。()（3）做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则两时刻时间差一定等于周期的整数倍。()（4）做简谐运动的单摆，振幅越大周期越大。()（5）摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的时，则单摆的频率不变，振幅不变。()（6）做简谐运动的水平弹簧振子，在半个周期内，弹力做的功一定为零。()（7）简谐运动的图像代表质点的振动轨迹。
4、()分析：只有满足F=-kx关系的回复力作用下的机械振动才是简谐运动，故（1）错；弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速度最小，故（2）错；做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，由振动图像可知两时刻时间差不一定等于周期的整数倍，故（3）错；做简谐运动的单摆，周期与振幅无关，故（4）错；在平衡位置（即最低点）时的动能当m增为原来的4倍，速度减为原来的时，动能不变，最高点的重力势能也不变，但是由于摆球的质量增大了，势能Ep=mgh不变，m大了，h就一定变小了，也就是说，振幅减小了，故（5）错；根据动能定理，在某一段时间内弹力做的功等于振子的动能的增量，在时间相差半个周期内的
5、两个时刻，振子的速度大小即速率一定相等，所以动能不变，在这段时间内弹力做功为零，故（6）对；简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，简谐运动图像实质是位移-时间图像，故（7）错。考点 1简谐运动的特征（三年4考）深化理解【考点解读】（1）动力学特征：F=-kx，“-”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。（2）运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。（3）运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。（4）对称性特征相隔(
6、n为正整数)的两个时刻，质点所处位置必定与原来的位置关于平衡位置对称，所有的运动描述量大小相等，如果为矢量则方向相反。质点在距平衡位置等距离的两个点上具有大小相等的速度、加速度，在平衡位置两侧相等距离上运动时间也是相同的。（5）能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。【典例透析1】（2013合肥模拟）如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点，已知CO=h，弹簧的劲度系数为k。某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内
7、，对质量为m的物体，下列说法正确的是()A.重力势能减少了2mghB.回复力做功为2mghC.速度的变化量的大小为0D.通过A点时回复力的大小为kh【解题探究】（1）简谐运动具有_。（2）速度是矢量，速度变化遵循_。（3）回复力做功说明什么力做功？提示：回复力是由重力和弹力的合力提供，回复力做功即重力和弹力的合力对物体做功。对称性矢量运算法则【解析】选A。作出弹簧振子的振动图像如图所示，由于振动的周期性和对称性，在半个周期内弹簧振子将运动到O点下方的D点，C、D两点相对平衡位置O对称，因此弹簧振子的高度降低了2h，重力做功2mgh，故弹簧振子的重力势能减少了2mgh，A项正确；回复力是该振子所
8、受的合外力，由对称关系知，弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等，方向竖直向下，因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量为零，而速度的变化为v=v-（-v）=2v，B、C错；弹簧振子通过A点时相对平衡位置的位移为2h，因此回复力F=-kx=-2kh，D项错。【总结提升】平衡位置确定与回复力认识的误区解答本题的关键是要明确简谐运动具有对称性的特点，竖直方向的弹簧振子做简谐运动的回复力是重力和弹簧弹力的合力，以及重力做功与路径无关的特点。对易错选项及错误原因具体分析如下：易错角度错误原因易错选B在确定A项正确的基础上，与水平放置的弹簧振子类比，认为回复力是弹簧的弹力，弹簧振子受到重力和回复力两个力
9、，半个周期内振子动能的变化为零，由动能定理知回复力做的功与重力做的功的代数和为零，即W-2mgh=0，因此错选B项。实际上竖直方向的弹簧振子的回复力是重力和弹簧弹力的合力提供的易错选C忽视了速度是矢量，误将速度作为标量，求速度的变化量应按照矢量运算法则，即平行四边形定则来计算易错选D审题不仔细，误将C点当做振动的平衡位置，而实际上O点才是振动的平衡位置【变式训练】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定一个质量为m的小球，向下压小球后释放，使小球开始做简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6mg。求：(1)当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？(2)小球做简谐运动的振幅A是
10、多大？【解析】(1)由题目已知条件可知，弹簧对水平面的最大压力是1.6 mg，此时弹簧的弹力应等于1.6 mg，处于压缩状态，则此时小球的回复力大小为0.6 mg，方向向上。根据简谐运动的对称性可知，当小球运动到最高点时的回复力也是0.6 mg，方向向下。小球在最高点受重力和弹簧弹力，经分析得到小球对弹簧的弹力大小为0.4 mg，方向向下。(2)该简谐运动的平衡位置在弹簧被压缩了处，而小球的最低点在弹簧被压缩了处，则振幅为A=x-x0答案：（1）0.4mg 方向向下（2）【变式备选】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（Mm）的A、B两物体，箱子放在水平地面上，平衡后
11、剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为()A.Mg B.（Mm）gC.（Mm）g D.（M2m）g【解析】选A。由平衡条件可知线断时A受到的回复力为mg，当A运动到最高点时回复力大小应为mg，方向向下，因而此时弹簧的弹力等于零，木箱对地的压力为Mg，故A正确。考点 2简谐运动的图像（三年9考）拓展延伸【考点解读】（1）由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期。（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。（3）可以根据图像确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。速度的方向
12、：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。【典例透析2】(2013泉州模拟)劲度系数为20 N/cm的弹簧振子,它的振动图像如图所示,则()A.A点对应的时刻，振子所受弹力大小为5 N，方向指向x轴正方向B.A点对应的时刻，振子的速度方向指向x轴的正方向C.在04 s内振子做了1.75次全振动D.在04 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移为零【解题探究】（1）弹力提供回复力，且满足_。（2）据图像可得_、_及_。（3）振子通过的路程_。【解析】选B。由题图可知据A点对应的位移x=0
13、.25 cm，据F=-kx可知A点对应的时刻，振子所受弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向，速度方向指向x轴的正方向，A错B对；在04 s内振子做了2次全振动，通过的路程为4 cm，位移为0，C、D错。F=-kx振动周期振幅任意时刻速度的方向【总结提升】利用图像分析振动物理量的方法（1）简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，简谐运动图像实质是位移-时间图像，对同一振动的物体，图像的形状与起始时刻的选取和正方向的规定有关。（2）要将图像所提供的信息与简谐运动特征有机结合起来，并注意发掘隐含信息，这类问题一般都需要明确振动的周期和振幅及某时刻速度方向，并在此基础上沿着xFaEpEk思路分析各量的变化。
14、(3)分析此类问题的关键是建立起振动图像和振动过程的联系，结合初始时刻的位置、周期和振幅来计算一定时间内的路程，若初始时刻的位置在平衡位置或最大位移处，则路程若初始时刻的位置不在特殊位置，且时间不满足半周期的整数倍，则路程应结合函数关系进行计算。【变式训练】（2013上海七校模拟）如图所示为某弹簧振子在05 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是()A.振动周期为5 s，振幅为8 cmB.第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C.第3 s末振子的速度为正向的最大值D.从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动【解析】选C。根据图像，周期T=4 s，振幅A=8 cm，A错误；第2 s
15、末振子到达波谷位置，速度为零，加速度最大，但沿x轴正方向，B错误；第3 s末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向x轴正方向运动,C正确；从第1 s末到第2 s末振子经过平衡位置向下运动到达波谷位置，速度逐渐减小，D错误。考点 3受迫振动和共振（三年5考）对比分析【考点解读】（1）自由振动、受迫振动和共振的比较振动类型比较项目自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力周期性驱动力作用周期性驱动力作用振动类型比较项目自由振动受迫振动共振振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率由驱动力的周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱T驱=T固或f驱=f固振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体
16、提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(10)机械工作时底座发生的振动共振筛、转速计等（2）共振曲线如图所示，横坐标为驱动力频率f驱，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大，当f驱f固时，振幅A最大。【典例透析3】下表表示某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则()A.f固60 Hz B60 Hzf固70 HzC50 Hzf固60 Hz D以上选项都不对驱动力频率/Hz304050607080受迫振动振幅/cm10.216.827.228.116.58.3【解题探究】（1）振动系统的固有频率
17、由_，与_无关。（2）共振曲线反映振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系是_。系统本身决定驱动力驱动力频率越接近系统的固有频率，系统的振幅越大【解析】选C。由如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小，f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大，并从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在5060 Hz范围内时，振幅变化最小。因此，50 Hzf固0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m,带电量为q(q0)的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲（不计粒子
18、的重力）。现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但考查内容振动的处理方法在综合问题中的应用具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A,并写出y-t的函数表达式。【规范解答】设粒子在y方向上的最大位移为ym（图丙曲线的最高点处），对应的粒子运动速度大小为v2（方向沿x轴），因为粒子在y方向的运动为简谐运动，因而在y=0和y=ym处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则qv0B-qE=-(qv
19、2B-qE)由动能定理有又Ay=ym 由式解得可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达式为答案：【双基题组】1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中()A振子所受的回复力逐渐增大B振子的位移逐渐增大C振子的速度逐渐减小D振子的加速度逐渐减小【解析】选D。在振子向平衡位置运动的过程中，振子的位移逐渐减小，B错；振子所受回复力逐渐减小，加速度逐渐减小，A错，D对；但加速度方向与速度方向相同，故速度逐渐增大，C错。2一质点做简谐运动时，其振动图像如图所示。由图可知，在t1和t2时刻，质点运动的()A位移相同B回复力相同C速度相同D加速度相同【解析】选C。从题图中可以看出在
20、t1和t2时刻，质点的位移大小相等、方向相反。则在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，A、B、D错误；在t1和t2时刻，质点都是从负最大位移向正最大位移运动，速度方向相同，由于位移大小相等，所以速度大小相等，C正确，故选C。3如图为一弹簧振子的振动图像，由此可知()A在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大【解析】选B。由振动图像可知，质点t2和t4时刻在平衡位置处，t1和t3时刻在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧
21、振子在平衡位置时的速度最大，动能最大，加速度为零，弹力为零，B对、D错；在最大位移处，速度为零，动能最小，加速度最大，弹力最大，A、C错。【高考题组】4.（2012重庆高考）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是()【解析】选D。试管的振动是简谐运动，试管静止不动时浮力等于重力，合外力等于零，因此，试管静止不动时的位置就是振动起来之后的平衡位置，因为开始振动时试管的位移方向向上，因此选项D正确。5.（2012北京高考）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动
22、，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()【解析】选A。简谐运动加速度与位移的关系为可见加速度与位移成正比，但是方向相反，因为经过四分之一周期，振子具有正方向的最大加速度，所以经过四分之一周期，就应该具有负方向最大位移，所以A正确。6.（2011上海高考）两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速度v1、v2（v1v2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则()A.f1f2,A1=A2 B.f1A2 D.f1=f2,A1v2，所以最低点动能Ek1Ek2，根据机械能守恒，在最高点的重力势能Ep1Ep2，即振幅A1A2，所以选项C正确。
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