1、第四课时导数与函数零点【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数2,5根据函数零点求参数3,4函数零点的综合应用1,6,7基础巩固(时间:30分钟)1.(2018河北邢台第二次月考)已知f(x)=ex-ax2.命题p:a1,y=f(x)有三个零点;命题q:aR,f(x)0恒成立.则下列命题为真命题的是(B)(A)pq (B)(p)(q)(C)(p)q (D)p(q)解析:对于命题p:当a=1时,f(x)=ex-x2,在同一坐标系中作出y=ex,y=x2的图象(图略),由图可知y=ex与y=x2的图象有1个交点,所以f(x)=ex-x2有1个零点,故命题p为假命题,因为f(0)=1,
2、所以命题q显然为假命题.故(p)(q)为真.2.(2018贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为-1,4,部分对应值如表:x-10234f(x)12020f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.当1a2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据导函数图象,知2是函数的极小值点,函数y=f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1a2,所以y=f(x)-a的零点个数为4.3.若函数f(x)=+1(a0)没有零点,则实数a的取值范围为.解析:f(x)=(a0).当x2时,f(x)2时,f(x)0,所以当x=2时,f(x)有极小值f(2)=
3、+1,若使函数f(x)没有零点,当且仅当f(2)=+10,解之得a-e2,因此-e2a0,得x2.所以函数f(x)的单调增区间是(-,-1),(2,+).(2)由(1)知f(x)极大值=f(-1)=-+2-2=-,f(x)极小值=f(2)=-2-4-2=-,由数形结合,可知要使函数g(x)=f(x)-2m+3有三个零点,则-2m-3-,解得-m.所以m的取值范围为(-,).能力提升(时间:15分钟)5.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28.(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)求方程f(x)=g(x)的根
4、的个数,并说明理由.(1)证明:由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x.所以h(1)=e-30,所以h(1)h(2)0,因此(x)在(0,+)上单调递增,易知(x)在(0,+)内只有一个零点,则h(x)在0,+)上有且只有两个零点,所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.6.已知函数f(x)=ex+ax-a(aR且a0).(1)若f(0)=2,求实数a的值,并求此时f(x)在-2,1上的最小值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解:(1)由f(0)=1-a=2,得a=-1.易知f(x)在-2,0上单调递减,在0,1上单调递增,所以当x=0时,f(x)在-2,1
5、上取得最小值2.(2)f(x)=ex+a,由于ex0.当a0时,f(x)0,f(x)是增函数,当x1时,f(x)=ex+a(x-1)0.当x0时,取x=-,则f(-)1+a(-1)=-a0.所以函数f(x)存在零点,不满足题意.当a0时,f(x)=ex+a,令f(x)=0,得x=ln(-a),在(-,ln(-a)上,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=ln(-a)时,f(x)取得最小值.函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a)=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)0,解得-e2a0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-e2,0).7.已知函数f(x)=ax+ln
6、 x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间;(2)当0-0,当a=-1时,f(x)=-x+ln x(x0),f(x)=(x0);当0x0;当x1时,f(x)0),令f(x)=0,解得x=-;由f(x)0,解得0x-;由f(x)0,解得-xe.从而f(x)的单调递增区间为(0,-),递减区间为(-,e),所以f(x)max=f(-)=-1+ln(-)=-3,解得a=-e2.(3)由(1)知当a=-1时,f(x)max=f(1)=-1,所以|f(x)|1.令g(x)=+,则g(x)=.当0x0;当xe时,g(x)0.从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.所以g(x)max=g(e)=+g(x),即|f(x)|+,所以,方程|f(x)|=+没有实数根.