1、2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=（x，y）|y2=4x，B=（x，y）|y=x+1，则AB=（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）2下列说法正确的是（）A已知p：x0R，x02+x01=0，q：xR，x2+x+10，则pq是真命题B命题p：若，则的否命题是：若，则CxR，x2+x10的否定是x0R，x02+x010Dx=是取最大值的充要条件3若ab0，则下列选项正确的是（）ABCanbn（nN，n2）Dc0，都有acbc4如图是某几何体的三
2、视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）ABCD +5如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A2B0C1D6487被7除的余数为a（0a7），则展开式中x3的系数为（）A4320B4320C20D207已知f（x）=x+sinx，若x1，2时，f（x2ax）+f（1x）0，则a的取值范围是（）Aa1Ba1CaDa8高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队首发要求每个班至少
3、1人，至多2人，则首发方案数为（）A720B270C390D3009设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆的离心率为（）ABCD10已知y=f（x）为R上的可导函数，当x0时，则关于x的函数的零点个数为（）A1B2C0D0或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为12已知A，B是y=sin（x+）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C若ABC为等腰直角三角形，则的值为13已知（x，y）满足，若z
4、=axy取最小值时有无数个最优解，则a=14已知圆C：（x2）2+y2=4过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时， =15已知命题：将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；在ABC中，若AB，则sinAsinB；在正三棱锥SABC内任取一点P，使得VPABC的概率是；若对于任意的nN*，n2+（a4）n+3+a0恒成立，则实数a的取值范围是以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，角A为锐角，且+cos2A（1）求f（A）的最大值；（2）若，求ABC的三
5、个内角和AC边的长17根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷和全国新课标卷已知各省选择全国高考新课标卷和全国新课标卷是等可能的，也是相互独立的（）在四川省选择全国新课标卷的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷 II的概率（）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷前，前三个省选择选择全国新课标卷的省的个数，求X的分布列及数学期望18如图1在直角三角形ABC中，A=90，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M
6、为CD的中点，现将CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M（I）求AM的长；（）求面DCE与面BCE夹角的余弦值19数列an满足nan+1（n+1）an=0，已知a1=2（I）求数列an的通项公式；（）若bn=，bn的前n项和为Sn，求证：Sn20给定椭圆C： =1（ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为（）求椭圆C的方程和其“准圆”方程（）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l
7、1，l2的方程；求证：|MN|为定值21已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=（x，y）|y2=4x，B=（x，y）|y=x+1，则AB=（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【考点】交集及其运算【专题】集合
8、【分析】联立方程组，求得方程组的解集得答案【解答】解：由A=（x，y）|y2=4x，B=（x，y）|y=x+1，得AB=（x，y）|=（1，2）故选：B【点评】本题考查交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题2下列说法正确的是（）A已知p：x0R，x02+x01=0，q：xR，x2+x+10，则pq是真命题B命题p：若，则的否命题是：若，则CxR，x2+x10的否定是x0R，x02+x010Dx=是取最大值的充要条件【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】Ap：由于0，因此方程有实数根，p是真命题，q：由x2+x+1=0，是真命题，即可判断出pq的真假；B利用否命题的定义即可判断
9、出正误；C利用命题的否定即可判断出正误；D例如x=+时函数也可以取得最大值，即可判断出正误【解答】解：Ap：x0R，x02+x01=0，由于0，因此方程有实数根，是真命题，q：xR，x2+x+1=0，是真命题，因此pq是真命题，正确；B命题p：若，则的否命题是：若与不垂直，则，不正确；CxR，x2+x10的否定是x0R，x02+x010，因此不正确；Dx=是取最大值的充分不必要条件，例如x=+时也可以取得最大值，因此不正确故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的性质、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若ab0，则下列选项正确的是（）ABCan
10、bn（nN，n2）Dc0，都有acbc【考点】不等式比较大小【专题】不等式的解法及应用【分析】A由ab0，可得a2b2，ab0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；B由ab0，可得ab0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；C由ab0，可得a2b2，即可判断出正误；D取c0时，可得acbc，即可判断出正误【解答】解：Aab0，a2b2，ab0，因此正确；Bab0，ab0，因此不正确；Cab0，a2b2，因此不正确；D取c0时，可得acbc，因此不正确故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题4如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则
11、该几何体的表面积是（）ABCD +【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥体，根据图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥体，且半圆锥体的底面圆半径为1，母线长为2，高为；该半圆锥体的表面积为12+22sin60+12=+故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目5如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（） A2B0C1D【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x
12、，y的值，当x=1，y=时，满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为【解答】解：执行程序框图，可得x=6y=2不满足条件|yx|1，x=2，y=0不满足条件|yx|1，x=0，y=1不满足条件|yx|1，x=1，y=满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为故选：D【点评】本题主要考察了程序框图和算法，根据赋值语句正确得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题6487被7除的余数为a（0a7），则展开式中x3的系数为（）A4320B4320C20D20【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；二项式定理【分析】先确定487被7除的余数为a，再利用展开式的通项，可得结论【解答】解：487=（
13、491）7=+1，487被7除的余数为a（0a7），a=6，展开式的通项为Tr+1=，令63r=3，可得r=3，展开式中x3的系数为=4320，故选：B【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键7已知f（x）=x+sinx，若x1，2时，f（x2ax）+f（1x）0，则a的取值范围是（）Aa1Ba1CaDa【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，推出函数的奇偶性，即可转化不等式为二次不等式恒成立，即可求出a的范围【解答】解：因为f（x）=sinx+x，xR，而f（x）=sin（x）
14、+（x）=sinxx=f（x），所以函数的奇函数；又f（x）=cosx+10，所以函数是增函数，若x1，2时，f（x2ax）+f（1x）0，f（x2ax）f（1x）=f（x1），所以x2axx1在x1，2恒成立，即有1a1+10且42a2+10，即有a1且a，则a故选C【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断与应用，考查不等式恒成立问题的解决方法，属于中档题8高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发
15、方案数为（）A720B270C390D300【考点】排列、组合的实际应用；分层抽样方法【专题】排列组合【分析】求出各个班的人数，然后按照题意求出首发的方案即可【解答】解：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有： +=390故选：C【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力9设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆的离
16、心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭（ab0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a|NF1|=2a3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到【解答】解：设椭圆（ab0），F1（c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a|NF1|=2a3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即ac=2，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2MN，由勾股定理可得|MF2|2
17、|MK|2=|NF2|2|NK|2，即为4c24=（2a3）225，化简即为a+c=12，由解得a=7，c=5，则离心率e=故选：D【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题10已知y=f（x）为R上的可导函数，当x0时，则关于x的函数的零点个数为（）A1B2C0D0或2【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得，x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的当x0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+）上是递增函数，xg（x）1恒成立，可得xg（x）在（0，+）上无零点同理可得x
18、g（x）在（，0）上也无零点，从而得出结论【解答】解：由于函数，可得x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点由于当x0时，当x0时，（xg（x）=（xf（x）=xf（x）+f（x）=x（ f（x）+ ）0， 所以，在（0，+）上，函数xg（x）单调递增函数又 xf（x）+1=1，在（0，+）上，函数 xg（x）=xf（x）+11恒成立，因此，在（0，+）上，函数 xg（x）=xf（x）+1 没有零点当x0时，由于（xg（x）=（xf（x）=xf（x）+f（x）=x（ f（x）+ ）0，故函数 xg（x）在（，0）上是递减函数
19、，函数 xg（x）=xf（x）+11恒成立，故函数 xg（x）在（，0）上无零点综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10；【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数的基本运算和几何意义进行求解即可【解答】解：足z，（x+yi）（xyi）=x2+y2=10；即复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10；
20、故答案为：x2+y2=10；【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的基本运算，比较基础12已知A，B是y=sin（x+）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C若ABC为等腰直角三角形，则的值为【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】由图象得到等腰直角三角形斜边AB上的高，则斜边AB可求，即函数y=sin（x+）的周期可求，由周期公式求得的值【解答】解：由题意可知，点C到边AB的距离为2，即ABC的AB边上的高为4，ABC是以C为直角的等腰三角形，AB=22=4即函数y=sin（x+）的周期T=4=故答案为：【点评】本题考查了由y
21、=Asin（x+）的部分图象求函数解析式，解答的关键是明确等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，是基础题13已知（x，y）满足，若z=axy取最小值时有无数个最优解，则a=3或1【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到使z=axy取最小值时有无数个最优解的a的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=axy，得y=axz由图可知，若a0，则当直线y=axz与y=3x+3重合时，z=axy取最小值时有无数个最优解，此时a=3；若a0，则当直线y=axz与x+y=6重合时，z=axy取最小值时有无数个最优解，此时a
22、=1故答案为：3或1【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14已知圆C：（x2）2+y2=4过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时， =3【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由题意，N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，M，N重合，并且CMAB，由此得到所求为CM2【解答】解：由可知N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，ABCM，即M，N重合，所以=（12）2+（）2=3；故答案为：3【点评】本题考查了直线与圆；解答本题的关键是：由题意明确M，N的位置关系，确定所求的实质15已知命题：将一组数据
23、中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；在ABC中，若AB，则sinAsinB；在正三棱锥SABC内任取一点P，使得VPABC的概率是；若对于任意的nN*，n2+（a4）n+3+a0恒成立，则实数a的取值范围是以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】利用方差的性质可得：方差变为原来的4倍，即可判断出正误；在ABC中，若AB，则ab，由正弦定理可得sinAsinB，即可判断出正误；如图所示，O是正ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在DEF及其内部任取一点P，则VPABC=，因此使得VPABC的概率P=，即
24、可判断出正误；若对于任意的nN*，n2+（a4）n+3+a0恒成立，则=，令f（x）=（x2），利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差变为原来的4倍，因此不正确；在ABC中，若AB，则ab，由正弦定理可得：，sinAsinB，因此不正确；如图所示，O是正ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在DEF及其内部任取一点P，则VPABC=，因此使得VPABC的概率P=，即正确；若对于任意的nN*，n2+（a4）n+3+a0恒成立，则=，令f（x）=（x2），f（x）=1=，当x3时，f（x）0，函数f（x）单调递增，f（x）f（3）=
25、，f（4）=6，当x=2时，f（2）=6，a（6）=，实数a的取值范围是，因此正确以上命题中正确的是 故答案为：【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、正弦定理、三棱锥的体积、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，角A为锐角，且+cos2A（1）求f（A）的最大值；（2）若，求ABC的三个内角和AC边的长【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的余弦【分析】（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角，确定f（A）的最大值（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦
26、定理求出AC边的长【解答】解：（I） 由已知得f（A）=取值最大值，其最大值为（II）由 f（A）=1得sin（2A+）=在ABC中，由正弦定理得：【点评】本题考查诱导公式的化简求值，二倍角的余弦公式等知识，是中档题17根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷和全国新课标卷已知各省选择全国高考新课标卷和全国新课标卷是等可能的，也是相互独立的（）在四川省选择全国新课标卷的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷 II的概率（）假设四川省在选择时排在第四位，用
27、X表示四川省在选择选择全国新课标卷前，前三个省选择选择全国新课标卷的省的个数，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷 II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i表示为Ai，Bi（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷 II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1，S2A1B2，S2A2B2四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷 II有两个基本事件，利用条件概率计算公式即可得出；（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷 I和全国新课标卷 II的概率都是
28、，四川省在选择选择全国新课标卷 II前，前三个省选择全国新课标卷 II的省份个数为X，则，即可得出分布列及其数学期望【解答】解：（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷 II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i表示为Ai，Bi（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷 II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1，S2A1B2，S2A2B2四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷 II有两个基本事件，设“四川省选择全国新课标卷 II的条件下，四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷 II”为事件M，（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷 I
29、和全国新课标卷 II的概率都是，四川省在选择选择全国新课标卷 II前，前三个省选择全国新课标卷 II的省份个数为X，则，X=0，1，2，3，X的分布列为X0123P【点评】本题考查了条件概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图1在直角三角形ABC中，A=90，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M（I）求AM的长；（）求面DCE与面BCE夹角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算【专题】空间向量及应用【分析】（I）由题意和等边三角形的知识可
30、得；（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，由垂直关系可得面BCE的法向量，进而可得cos，的值，即得答案【解答】解：（I）由已知可得AMCD，又M为CD的中点，；（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，可得，设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，），cos，=，面DCE与面BCE夹角的余弦值为【点评】本题考查空间向量与立体几何，建系是解决问题的关键，属中档题19数列an满足nan+1（n+1）an=0，已知a1=2（I）求数列an的
31、通项公式；（）若bn=，bn的前n项和为Sn，求证：Sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（I）通过nan+1=（n+1）an可得=2，进而可得结论；（II）通过an=2n可得bn=2n（2n+1），放缩即得（），并项相加即得结论【解答】（I）解：nan+1=（n+1）an，an+1=2（n+1），an=2n；（II）证明：an=2n，a2n=4n，a2n+1=2（2n+1），=（nN*）【点评】本题考查求数列的通项及数列的和的范围，利用放缩法及并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题20给定椭圆C： =1（ab0），称圆心在原点O，半径
32、为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为（）求椭圆C的方程和其“准圆”方程（）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；求证：|MN|为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；压轴题；分类讨论【分析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公
33、共点，求得k从而得l1，l2方程（2）分两种情况当l1，l2中有一条无斜率和当l1，l2都有斜率处理【解答】解：（I）因为，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以=144k249（1+3k2）=0，解得k=1所以l1，l2方程为y=x+2，y=x+2（2）当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1
34、方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=1），即l2为y=1（或y=1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（xx0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0tx0）23=0，即（1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）23=0，=6t（y0tx0）24（1+3t2）3（y0tx0）23=0，经过化简得到：（3x02）t2+2x0y0t+1y02=0，因为x02+y0
35、2=4，所以有（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0，所以t1t2=1，即l1，l2垂直综合知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4【点评】本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力21已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（
36、）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】压轴题【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范
37、围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解【解答】解：（）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，n2，nN*，则有0lnnn1，【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题