1、 1/152021 年 7 月高二市质检数学试卷试卷分卷和卷两部分，满分 150 分 考试时间 120 分钟第卷（选择题 共 60 分）一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的在答题卷上相应题目的答题区域内作答(2021 年 7 月高二市质检，1)复数在复平面内对应的点为，则（）ABCD【答案】【解析】复数在复平面内对应点的坐标为，则，所以，所以.故选：.(2021 年 7 月高二市质检，2)人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有（）A种B种C种D种【答案】【解析】相邻问题用捆绑法，不同排法共有种.故选：.(2021
2、年 7 月高二市质检，3)展开式中含的项的系数为（）ABCD【答案】【解析】的展开式通项为，令，得。故含的项的系数为，故选：.z(3,6)2zi3456Cz(3,6)36zi234zii222345zi|C5244872120B424248A A B52xx3x105510A52xx55 215522rrrrrrrTC xC xx 523r1r 3x115210C A 2/15(2021 年 7 月高二市质检，4)某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（参考公式：）（）ABC
3、D【答案】【解析】依题设，则，在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为.故选：(2021 年 7 月高二市质检，5)长时间玩手机可能影响视力。据调查，某校大学生大约有的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过一小时，这些人的近视率约为。先从每天玩手机不超过一小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）ABCD【答案】【解析】假设该校的学生数为,则该校近视的学生数为,该校每天玩手机超过 1h 的学生数为则该校每天玩手机不超过一小时的学生数为，由于该校每天玩手机超过一小时学生的近视率为则该校每天玩手机超过一小时的近视的学生数为则该校每天玩手机不超过一小时的学生中近视的学生数为从每天玩手机不超过一小
4、时的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为：故选(2021 年 7 月高二市质检，6)正四面体中,分别为,的中点,则直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】【解析】如图,连接,取中点,连接,则,故即为所求异面直线的夹角.设正四面体棱长为,在中,在中,由勾股定理可得AMKV0 C1dmt C(1)at dma0t 343VR球0a43a4 aD34()(1)3f tVat球2()4(1)f taat0t(0)4faD40%20%50%131296Cm0.4m0.2m0.8m50%0.2m50%0.1m0.4m 0.1m 0.3m0.3m0.8mCABCDM NBC ADAMCN13233323
5、DBNBNKMKMKCNPAMKABCD23AM 1322MKCNAKNV222237122AKANKN 3/15然后,由余弦定理可得故选.(2021 年 7 月高二市质检，7)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能向左或向右移动一个单位，若质点移动次，则回到原点的概率为（）ABCD【答案】【解析】因为质点每次都是向左或向右随机运动，则运动次所有可能情况为种，又因为最后回到了原点，则说明向左和向右运动的次数相同都是次，则一共有种，则由古典概率可得，故选(2021 年 7 月高二市质检，8)已知函数，若，则的最小值为（）ABCD【答案】【解析】因为，所以，令，则，即，22222
6、2373222cos233232AMMKAKAMKAMMKD06001451658C662=643366 5 4=203 2 1C 205=6416PC lnf xxx 24g xx 12f xg x21xx22e3e2e 1A lnf xxx0 x ln1fxx 2fxln12x xe 4/15，所以函数在点处的切线方程为，即，取，解得，所以的最小值为，故选.二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全得 3 分，有选错的得 0 分在答题卷上相应题目的答题区域内作答(2021 年 7 月高二市质检，9
7、)随机变量，则（）ABCD【答案】【解析】对；，错；，错；，对.(2021 年 7 月高二市质检，10)已知函数的导函数的图像如图所示，则（）ABC.在上有个极值点D在处的切线斜率小于【答案】【解析】在上单调递增，所以对错。如图所示有两个极值点，对在处的切线斜率大于，错(2021 年 7 月高二市质检，11)把个编号为，的球放入个编号为，的盒子中，则（）A不同的放法有种B每个盒子放一个球的不同放法有种 f ee,e e2yexe2yxe24yxe4222eex21xx2222eeeA2,4XN:2E X 2D X 41P XP X131P XP XADA4D X B401P XP XP XC1
8、1113P XP XP X D yf x,yfx 12f xf x32f xf x f x,a b2 f x0 x 0AC f x13,x xAB f xC f x0 x 0D41234412346424 5/15C每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有种D恰有一个盒子不放球的不同放法有种【答案】【解析】对于，每一个球去放时，有种选择，所以错误；对于，直接排列就可以，,所以对;对于，放编号为 的盒子有种方法，与编号为 的球所放盒子的编号放入 号盒子或其他两个盒子，共有，即，所以对;对于,先选一个空盒子，再选一个盒子放两球，错误；综上，选择。(2021 年 7 月高二市质检
9、，12)棱长为 1 的正方体中，点分别满足，其中，则（）A当时，三棱锥的体积为定值B当时，点到平面的距离相等C当时，存在使得平面D当时，【答案】【解析】A.等体积转化；正确B面将两等分，所以高相等;正确C.背景知识：体对角线垂直对角面，又过一点有且仅有一个面与已知直线垂直，所以不存在；错误D.建系设坐标，令即可；正确故选：第卷（非选择题 共 90 分）三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答(2021 年 7 月高二市质检，13)若，则972BCA444256AB444 3 224A BC113C111213C3 39 CD1122434
10、2144C C C A DBC1111ABCDA B C DEF，AEABBFBC0,1 0,1 1 11AB EF12,A B1B EF12 1BD 1B EF11A FC EABD1B EF1BABCV110A FC EABD31izizz 6/15【答案】【解析】复数,则(2021 年 7 月高二市质检，14)已知,若在平面内,则=.【答案】【解析】已知,设在平面内的点满足取得,所以在平面内的点满足,代入得(2021 年 7 月 高 二 市 质 检，15)由，组 成 没 有 重 复 的 三 位 数，其 中 偶 数 有个（用数字作答）【答案】【解析】要求偶数，先确定末位数是或，再确定首位非
11、，最后确定第二位即可，则；先确定末位为，再任取两个数在前两位即可，则；汇总则为个偶数.(2021 年 7 月高二市质检，16)函数，当时，的零点个数为_：若存在实数，使得对于任意，都有，则实数的取值范围是【答案】一个；【解析】（1）时，易知在单调递减，在单调递增，且，故画出图像如下所示2313241 21112iiiiziiii 12zi 2zz1,0,0A0,1,0B0,0,1Cx,1,1PABCx1x 1,0,0A0,1,0B0,0,1CABC0000AxByCzDADBDCD=-1D1ABCABC10 xyz x,1,1P1x 0123455224011124432C C C 01215
12、20C A 52,xxexaf xx xa 0a f x0 xxR 0f xf xa1ae 0 x 1xfxxe f x,1 1,011fe 00f,0 xf x 7/15当时，取轴左侧绿色轨迹与轴右侧黑色轨迹组成，易知仅在处有唯一零点。（2）由图像易知当在滑动时，图像最低点分别由组成，且取不到左端点，故当最小值在点时存在实数.故.0a yy f x0 x a f x ,g xh x h x f xA0 x1ae 8/15四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答(2021 年 7 月高二市质检，17)已知函数在处有
13、极值（1）求的解析式；（2）求在上的最值【答案】（1）；（2），【解析】（1），依题意得，所以（2）由（1）可知，令，解得或极大值极小值由表格可知，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值又，当或时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，(2021 年 7 月高二市质检，18)在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展.某公司为 liaojie职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了名职工，得到的部分数据如下表所示：32f xxaxb2x 2 f x f x2,3 3232f xxx min18f x max2f x 232fxxax12+4038+422aaabb 3232f xxx
14、23632fxxxx x 0fx 0 x 2x x2,000 2，22 3，f x+00+fxZZ0 x f x 0=2f2x f x 22f 218f 32f0 x 3x f x 032ff2x f x218f min18f x max2f x30 9/15愿意不愿意合计男性15女性710合计30(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”(2)为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取人进行问卷调查，求至少抽到名女职工的概率.附：，其中.【答案】（1）表格见解析，没有的把握认为“该公司职工购买
15、新能源汽车的意愿与性别有关”；（2）【解析】（1）依题意，完善表格如下：愿意不愿意合计男性15520女性3710合计181230假设:该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别无关，则，所以没有的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”.（2）记“至少抽到名女职工”为事件，“恰好抽到名职工”为事件，“恰好抽到 名职工”为事件，则有，且与互斥故，所以至少抽到名女职工的概率为2 299%3222n adbcKabcdacbdnabcd 20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82899%7110H2230 15 73 55.6256.635
16、18 12 20 10K 99%2A2B3CABCBC 1235775512122177444411C CCP AP BP CCC2711 10/15(2021 年 7 月高二市质检，19)如图，在三棱锥中，是正三角形，是的中点.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）连接，因为，在中，,在正中，,因为，所以，所以；又因为，且，平面，所以平面，所以两两互相垂直.3如图，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.PABCPBCA
17、CBCDABBCPD22 2ACBCPA，DPAC77BCO,PO ODPBCPOBCDABODACPACBCODBCODPOOBC PODPD PODBCPDOA2ACBCRt OAC225OAACOCPBC223POPCOC2 2PA 222PAAOPOPOOAPOBCAOBCO,AO BC ABCPO ABC,OD OB OPO,OD OB OPxyz 11/15则,所以设平面的法向量为，则取，则，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则取，则，所以平面的一个法向量为.则.所以二面角的余弦值为(2021 年 7 月高二市质检，20)为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区组不
18、同身高（单位：）的未成年男性体重的平均值（单位：）（）数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值2,1,0A1,0,0,0,0,3,0,1,0DPC1,1,01,0,3,2,0,00,1,3ADPDACPC PAD111,mx y z111100300 xym ADxzm PD 11z 113xyPAD3,3,1m PAC222,nxyz222200300 xn ACyzn PC 21z 20 x ，23y PAC0,3,1n 27cos,77 2m nm nm n DPAC7712ixcmiykg1,2,.,12i 12/15表中，（1）根据散点图判断和哪一个适宜作为该地区未成年男性
19、体重的平均值与身高的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为，体重为，他的体重是否正常？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）；（2）；（3）偏胖【解析】（1）根据散点图适宜作为该地区未成年男性体重的平均值与身高的回归方程类型（2）令，先建立关于的线性回归方程由于，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为（3）由，得，由（2）知时，xy1221()iixx121()()iiixxyy121
20、()()iiixx 11524.3582.958143006300286ln1,2,.,12,iiy i 121112iiyaxbcx dyeyxyx1.20.8175cm78kg11(,)u v22(,)u v(,)nnu vvu121()(),ln 20.693.()niiiniiuu vvvuuucx dye0.020.658xyecx dyeyxln y x1211221()()2860.0214300()iiiiixxcxx$2.9580.02 1150.658dcx$x0.020.658x yx0.020.658xyeln 20.6930.6932e175x 60.02 175 0
21、.6584.1586 0.6930.6936264yeeee 13/15又，所以该未成年男性偏胖(2021 年 7 月高二市质检，21)一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中有 4 个白球，6 个黄球，从中随机地摸 4 个球作为样本，用表示样本中黄球的个数，表示样本中黄球的比例。（1）若有放回摸球，求的分布列及数学期望；（2）（i）分别就有放回摸球和不放回摸球，求与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过的概率（ii）比较（i）中所求概率的大小，说明其实际含义【答案】（1）分布列见解析，；（2）（i）；（ii）见解析【解析】（1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，
22、所以.的所有可能值为，64 1.276.878XYXY0.212()5E X 4326251721353(4,)5XB:X0,1,2,3,40442(0)(16625)5P XC1343296(1)()55625P XC222432216(2)()()55625P XC33432216(3)()55625P XC 14/15，所以的分布列为.（2）（i）样本中黄球的比例为，由题意，解得，即取，有放回摸球时，所求概率；不放回摸球时，所求概率.（ii）由（i）可知，所以在误差不超过的限制下，用样本中黄球比例估计总体黄球比例，采用不放回估计的结果更可靠些.(2021 年 7 月高二市质检，22)已知
23、函数,（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题可知。若，恒成立，在单调递增；444381(4)()5625P XCXX01234P166259662521662521662581625312()455E X 4XY 0.60.24X 1.63.2XX2,31216216432(2)(3)625625625PP XP X223164642441010381772121C CC CPCC12PP0.2()ln(1)()f xxaxa aR()f x()x af xxeaxa0,)a1()(1)1fxa xx 0a()0fx()f x(1,)15/1
24、5若，当时，单调递增，当时，单调递减。综上，若，在单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减。（2）即在恒成立。设，则。又，所以在单调递增。令得，故，。由零点存在定理，使。当时，递减；当时，递增。故原式等价于。又，即。带入上式得。设，即。，所以在单调递增，又，故。又显然在定义域内单调递增，由可知，。0a 1(1,1)xa ()0fx()f x1(1,)xa ()0fx()f x0a()f x(1,)0a()f x1(1,1)a 1(1,)a ln(1)0 x axexa(1,)()ln(1)x ah xxexa1()(1)1x ah xxex21()(2)0(1)x ah xxex()h x(1,)0 x(0)0ha(0)10ahe 1()101h aaa 00,a)x0()0h x0(1,)xx()0h x()h x0(,)xx()0h x()h x0()()h xh x0000()ln(1)0 xah xx exa00001()(1)01xah xxex002ln(1)axx00020ln(1)0(1)xxxx2()ln(1)(1)xH xxxx0()0H x232()10(1)(1)xxH xxx ()H x(1,)(0)0H00()00H xx2ln(1)yxx002ln(1)axx0,)a
