1、选修41几何证明选讲第2课时圆的进一步认识(理科专用)1. 如图，在半径为的圆O中，弦AB、CD相交于点P，PAPB2，PD1，求圆心O到弦CD的距离解：连结OD，取CD的中点M.则圆心O到弦CD的距离为OM.由相交弦定理得PAPBDPPC，解得PC4，所以MD.所以OM.2. 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB3AD，求的值解：设圆的半径为R，则ADR，ODRRR.又OD2OEOC，所以OER，CERRR，所以8.3. 如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3，PDDB916，分别求PD、AB的值解：由PDDB916，可
2、设PD9x，DB16x.因为PA为圆O的切线，所以PA2PDPB，所以329x(9x16x)，化为x2，所以x.所以PD9x，PB25x5.因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以ABPA.所以AB4.4. 如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的值解：连结OA，则AOC60，OAP90，因为OA1，所以PA.5. 自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点求证：MCPMPB.证明： PA与圆相切于A， MA2MBMC.又M为PA的中点， PMMA， PM2MBMC， . BMPPM
3、C， BMPPMC， MCPMPB.6. 如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OEAB，垂足为E，求证：OECD.证明：连结AO并延长交圆O于F，则AF为圆O的直径，连结BF、CF，则ABFACF90. OEAB，又O为AF的中点， E为AB的中点， OEBF. ACF90， ACCF.又ACBD， BDCF，则， DCBF， OECD.7. 如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上的点，且CA平分BAF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D. 求证：DC是圆O的切线证明：连结OC，所以OACOCA.又CA平分BAF，所以OACFAC，所以FACOCA，所以OCAD.又CDAF，所以CDOC，
4、所以DC是圆O的切线8. 如图，圆O1与圆O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.求证：ABCDBCDE.证明：因为A、M、D、N四点共圆，所以ACCDMCCN.同理，有BCCEMCCN，所以ACCDBCCE，即(ABBC)CDBC(CDDE)，所以ABCDBCDE.9. 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BEAC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交CD的延长线于点P，PCED1，PA2.(1) 求AC的长；(2) 求证：BEEF.(1) 解： PA2PCPD，PA2，PC1， PD4.又PCED1， CE2. PACCBA，PCACAB， PACCBA，
5、 ， AC2PCAB2， AC. (2) 证明： BEAC，CE2，而CEEDBEEF， EF， EFBE.10. 如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC、AE、DE.求证：EC.证明：连结AD. AB是圆O的直径， ADB90. ADBD. BDDC， AD是线段BC的中垂线 ABAC. BC.又 D、E为圆上位于AB异侧的两点， BE. EC.11. 如图所示，AB是圆O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AB的垂线交AC的延长线于点E、交AD的延长线于点F，过G作圆O的切线，切点为H.求证：(1) C、D、F、E四点共圆；(2) GH2GEGF.证明：(1) 如图，连结BC. AB是圆O的直径， ACB90. AGFG， AGE90.又EAGBAC， ABCAEG.又FDCABC， FDCAEG. FDCCEF180. C、D、F、E四点共圆(2) GH为圆O的切线，GCD为割线， GH2GCGD.由C、D、F、E四点共圆，得GCEAFE，GECGDF， GCEGFD. ，即GCGDGEGF， GH2GEGF.