1、第9讲二次函数与幂函数夯实基础【p19】【学习目标】1理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2会求二次函数的值域与最值；3运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题；4了解幂函数的概念，结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质解决有关问题【基础检测】1函数y的图象是()【解析】函数y可化为yx3，当x时，求得y1，选项A不合题意，可排除选项A，故选C.【答案】C2幂函数ykx过点(4，2)，则k的值为()A1 B. C1 D.【解析】由幂函数的定义得k1.所以yx，因为幂函数经过点(4，2)，所以2422，21，.所以k1.【答案】B3已知函数f(
2、x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0 C1 D2【解析】函数f(x)x24xa(x2)2a4，x0，1，函数f(x)x24xa在0，1单调递增，当x0时，f(x)有最小值f(0)a2，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a321.【答案】C4已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C(2，) D2，)【解析】函数f(x)x22ax3为对称轴x0a开口向上的二次函数，在区间1，2上单调递增，区间1，2在对称轴x0a的右边，即a1，实数a的取值范围是(，1【答案】B5已知函数f(x)x22axb(
3、a1)的定义域和值域都为1，a，则b_【解析】函数f(x)x22axb(a1)的对称轴方程为xa1，所以函数f(x)x22axb在1，a上为减函数，又函数在1，a上的值域也为1，a，则即由得：b3a1，代入得：a23a20，解得：a1(舍)，a2.把a2代入b3a1得b5.【答案】5【知识要点】1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)
4、上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减3二次函数在闭区间上的最值若a0，二次函数f(x)ax2bxc在闭区间p，q上的最大值为M，最小值为N.令x0(pq)，若q，则Mf(p)，N_f(q)_；若px0，则Mf(q)，N_f_；若x00，若a，bR，且ab0，ab0，ab0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f(a)f(b)恒大于0.【答案】A(3)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_【解析】不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a.【答案】(，1)【点评】(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只
5、需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴考点2二次函数的解析式的求法已知函数f(x)x2mxn(m，nR)满足f(0)f(1)，且方程xf(x)有两个相等的实数根(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x0，3时，求函数f(x)的值域【解析】(1)f(x)x2mxn，且f(0)f(1)，n1mn，m1，f(x)x2xn.方程xf(x)有两个相等的实数根，即x22xn0有两个相等的实数根，(2)24n0，n1，f(x)x2x1.(2)由(1)知f(x)x2x1，此函数的图象
6、是开口向上，对称轴为x的抛物线，当x时，f(x)有最小值f.而f1，f(0)1，f(3)32317，当x0，3时，函数f(x)的值域是.【点评】求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解考点3二次函数的图象与性质已知函数f2x2axb且f3.(1)若函数f的图象关于直线x1对称，求函数f在区间上的值域；(2)若函数f在区间上递减，求实数b的取值范围【解析】(1)f2x24x321，x，ff33，ff1，函数f(x)在区间上的值域为.(2)函数f在区间上递减，3，则a12，又f3，b2a5，a12，b19.已知函数f(x)(x2)(xa)
7、，其中a2.(1)若函数f(x)的图象关于直线x1对称，求a的值；(2)若函数f(x)在区间0，1上的最小值是2，求a的值【解析】(1)因为f(x)(x2)(xa)x2(a2)x2a，所以f(x)的图象的对称轴为直线x.由1，解得a0.(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x.当a2时，f(x)的最小值为f(0)4，显然与题意不符；当01，即0a0)，若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，设g(x)f(x)kx.(1)当x2，2时，g(x)为单调函数，求实数k的取值范围；(2)当x1，2时，g(x)0)，f(1)0且对任意实数x均有f(x)0成立；x1，且ab10；即b2a，且ab1
8、0，解得a1，b2；f(x)x22x1.g(x)f(x)kxx2(2k)x1，g(x)在2，2上是单调函数，x应满足：2或2，即k6或k2.k的取值范围是k|k2或k6(2)若g(x)x2(2k)x1，x1，2时，g(x)，k的取值范围是.【点评】二次函数值恒大(小)于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑；利用二次不等式与二次方程之间的关系，即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解；关于二次方程根的分布问题，可以借助二次函数的图象直观考察，主要从判别式、对称轴、端点值这三个方面入手考虑应满足的条件方 法 总 结【p21】1幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否
9、会出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较3二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键4对二次函数yax2bxc(a0)在m，n的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：(1)当xm，n时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得(2)当xm，n时，最大值和最小
10、值分别在区间的两个端点处取得(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想，当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解5二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化走 进 高 考【p21】1(2017山东)已知当x0，1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0，12，) B(0，13，)C(0，2，) D(0，3，)【解析】当01时，01，y(mx1)2在
11、上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m1)21mm3，选B.【答案】B考 点 集 训【p185】A组题1已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则幂函数f(x)具有的性质是()A在其定义域上为增函数B在其定义域上为减函数C奇函数D定义域为R【解析】设幂函数f(x)x，幂函数的图象过点(4，2)，42，f(x)x(x0)，由f(x)的性质知，f(x)是非奇非偶函数，值域为0，)，在定义域内无最大值，在定义域内单调递增【答案】A2已知函数fx2bxc的图象的对称轴是x1，并且经过点A，则f()A6 B2 C0 D4【解析】fx2bxc，对称轴为x1，得b2，过A，知f93bc96c0，c3，
12、fx22x3，f1230.【答案】C3若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4)内不是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，3 B(，3)C(3，) D3，)【解析】函数f(x)x22(a1)x2是一个开口向上的二次函数，对称轴为x1a，函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4)内不是单调函数，1a3，实数a的取值范围是(3，)【答案】C4二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是()Af()ff()Bff()f()Cf()f()fDf()f()0，所以对称轴为x1，所以与对称轴的距离分别为|1|、|1|，大小关系为|1|1|，所以f()f
13、()0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_【解析】当x0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.mn的最小值是1.【答案】17设二次函数f(x)ax2bx2，如果f(x1)f(x2) (x1x2)，则f(x1x2)_【解析】由题意知，因为f(x1)f(x2)x1x2，所以f(x1x2)fab22.【答案】28已知二次函数f(x)2kx22x3k2，x5，5(1)当k1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)若函数f(x)在区间5，5上是单调函数，求实数k的取值范围【解析】(1)k1时，f(x)
14、2x22x5，f(x)对称轴为x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)maxf(5)22510555，f(x)minf156.(2)由于f(x)是二次函数，所以k0，f(x)关于x对称，要使f(x)在区间5，5上是单调函数，则必有5或5，解得k0或0k，即实数k的取值范围是.B组题1已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n()A3 B1或2 C1 D2【解析】幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，n22n21，n23n为偶数，且n23n4ac；2ab1；abc0；5a0，即b2
15、4ac，故正确；对称轴x1，2ab0，故错误；当x1时，由图象可知yabc0，故错误；由对称轴x1，得b2a，又函数图象开口向下，a0，5a2a，即5ab，故正确【答案】B3已知二次函数f(x)ax2bxc满足：ff，且f(x)2x的解集为.(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)f(x)mx(mR)，若g(x)在x1，2上的最小值为4，求m的值【解析】(1)ff，即a2b.又f(x)2x，即ax2(b2)xc0，1，1，由得a2，b1，c3，f(x)2x2x3.(2)g(x)2x2(1m)x3，其对称轴方程为x，若1，即m3，不符合题意；若12，即3m9时，g(x)ming4，解得m12，
16、符合m3，9；若2，即m9时，g(x)ming(2)72m，由72m4，得m9，不符合题意综上得m12.4已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)满足条件：f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的表达式(2)是否存在实数m，n(mn)使f(x)的定义域和值域分别是m，n和3m，3n，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由【解析】(1)f(x)ax2bx，且f(x5)f(x3)，令x3，有f(35)f(33)f(0)0，f(2)f(0)4a2b0，b2a，又f(x)xax2(b1)x0有等根，(b1)24a00，b1，a，f(x)x2x.(2)假设存在实数m，n(mn)符合题意，则3nf(x)max，f(x)x2x(x1)2，3nf(x)max，即n，又f(x)对称轴为x1，f(x)在m，n单调递增，f(m)3m，f(n)3n，解得m0或m4，n0或n4，又mn，m4，n0，存在实数m4，n0，使f(x)定义域和值域分别为m，n与3m，3n
