1、第3讲平面向量的数量积一、填空题1已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析 ab与kab垂直，(ab)(kab)0，化简得(k1)(ab1)0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得ab10，得k10，即k1.来源:学#科#网答案 12已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析 设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，所以.答案 3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.解析|ab|.答案4设E、F分别是RtABC的斜边B
2、C上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则_.解析由2，得2()，所以.同理，又，所以2293610.答案105已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab的夹角为_解析 将|ab|ab|两边同时平方得：ab0；将|ab|a|两边同时平方得：b2a2.所以cosab，ab.所以ab，ab60.答案 606已知O是ABC的内部一点，0，2，且BAC60，则OBC的面积为_解析由|cos 602，得|4，SABC|sin 60，由0知，O是ABC的重心，所以SOBCSABC.答案7若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)
3、，B(，3)，则M，2.答案28已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a3p2q，bpq，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为_解析由题意可知较小的对角线为|ab|3p2qpq|2p3q| .答案9已知平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为_解析 |2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，ab0，ab.如图所示，a与ab的夹角为COA，tanCOA，COA，即a与ab的夹角为. 答案 10设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC，则_.解析 依题意
4、得(3sin Bsin C)cos Asin Acos C，即3sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，于是有cos A，sin A，又SABCbcsin Abc，所以bc3，bccos(A)bccos A31.答案 1二、解答题11已知平面向量a(，1)，b.(1)若存在实数k和t，满足x(t2)a(t2t5)b，yka4b，且xy，求出k关于t的关系式kf(t)；(2)根据(1)的结论，试求出函数kf(t)在t(2,2)上的最小值解(1)ab0，|a|2，|b|1，所以xy(t2)ka24(t2t5)b20，故(t2)k44(t2t5)10，
5、整理得kf(t)(t2)(2)kf(t)t25，因为t(2,2)，所以t20，则kt253，当且仅当t21，即t1时取等号，所以k的最小值为3.12. 如图，在ABC中，已知AB3，AC6，BC7，AD是BAC的平分线(1)求证：DC2BD；(2)求的值(1)证明在ABD中，由正弦定理得.在ACD中，由正弦定理得.又AD平分BAC，所以BADCAD，sin BADsin CAD，又sin ADBsin(ADC)sin ADC，由得，所以DC2BD.(2)解因为DC2BD，所以.在ABC中，因为cos B.所以|cos(B)37.13 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，
6、C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值来源:Zxxk.Com解 (1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.14已知向量m，n.(1)若mn，求cos 的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的值域来源:Z*xx*k.Com解 (1)因为mn，所以mn0，即sincoscos20，则sincos0，即sin，则cos，所以cos2cos21.(2)由题意，得f(x)mnsin.f(A)sin.由(2ac)cos Bbcos C，及正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bcos Bsin Csin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)，ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B，0A.，sin1.函数f(A)的值域是.