1、第13讲函数与方程夯实基础【p32】【学习目标】1结合二次函数的图象，掌握二次方程根的分布情况；2理解函数零点的概念和性质，会用二分法求函数的零点【基础检测】1函数f(x)2x8的零点是()A3 B(3，0) C4 D(4，0)【解析】函数f(x)的零点等价于方程f(x)0的根，即2x80，x3，故选A.【答案】A2若方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】令fx2axa，方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，则f42aa4a4.故选A.【答案】A3函数fx的零点个数为()A0 B1 C. 2 D. 3【解析】在同一直角坐标系下作出
2、函数yx与y的图象，如图所示，由图知，两个函数只有一个交点，所以函数f(x)的零点只有1个，故选B.【答案】B4已知f(x)g(x)f(x)xm，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是()A1，) B1，0)C0，) D1，)【解析】g(x)f(x)mx有两个零点，等价于f(x)mx0有两个根，即yf(x)与yxm有两个交点，画出yf(x)与yxm的图象，如图，由图可知，当yxm在y轴的截距不大于1时，两函数图象有两个交点，即m1，m1，m的取值范围是1，)，故选A.【答案】A【知识要点】1二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000图象与x轴的交点_(x1，0)，(x2，0)_(
3、x1，0)_无交点零点个数_2_1_0_2.函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使_f(x)0_的实数x叫作函数yf(x)的零点(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)0有_实根_函数yf(x)的图象与_x轴_有交点函数yf(x)有零点(3)函数有零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_连续不断_的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0_，那么函数yf(x)在区间_(a，b)_内有零点，即存在c(a，b)，使得_f(c)0_，这个c也就是方程f(x)0的_根_典 例 剖 析【p33】考点1函数零点区间的判定和求解(1)函数fln xx4的零点所在的区
4、间为()A. B.C. D.【解析】函数fln xx4，满足f1e4e30，fln 310，由零点存在性定理可知函数fln xx4的零点所在的区间为.故选C.【答案】C(2)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内【解析】因为f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A.【答案】A(3)函数f(x)x
5、23x18在区间1，8上_(填“存在”或“不存在”)零点【解析】法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18在区间1，8上的图象是连续的，故f(x)x23x18在区间1，8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61，8，x31，8，f(x)x23x18在区间1，8上存在零点【答案】存在【小结】确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法：(1)定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，f(x)2x6ln x，令2x6ln x0，得ln x62x.作出函数yln x与y62x在区间
6、(0，)上的图象，则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)2x6ln x(x0)只有一个零点综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.【答案】2【小结】判断函数零点个数的3种方法：(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，即44a0，解得a1，又a0，所以a的取值范围为.(2)若函数在区间与上各有一个零点，由f的图象可知，只需即解得a1.【小结】一元二次函数的零点问题，即一元二次方程根的分布问题，通常转化为二次函数图象问题，利用等价转换思想求解考点4函数零点的应
7、用(1)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0，且ba1(a，bN)，则ab()A5 B4 C3 D2【解析】因为f(x)ln x3x8，可得函数是(0，)上的增函数，而且fln 220，即f(2)f(3)0，所以函数有唯一的零点x0，且满足题意，所以a2，b3，即ab5，故选A.【答案】A(2)已知偶函数f满足f(x)f(x2)，且当x时，fx2.若在区间内，函数gfloga有3个零点，则实数a的取值范围是_【解析】由题意知函数f(x)的周期为2，在区间1，3内函数g(x)f(x)loga有3个零点等价于yf(x)的图象与yloga的图象在区间1，3内有3个交点，当0a1且解得3a0在(0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，所以此时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)单调递增，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减，则f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，则f(x)min4，所以f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为3.【答案】3