1、第2讲函数的单调性与最值最新考纲1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
2、区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(2)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()(3)(教材改编)函数f(x)在其定义域上是减函数()(4)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()2函
3、数的单调区间与最值(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(6)(教材改编)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(7)(2013汕头模拟)函数ylg|x|的单调递减区间为(0，)()(8)函数f(x)log2(3x1)的最小值为0.()感悟提升1一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，
4、不能写成并集，如(6).学生用书第13页考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f(x)x(k0)在(0，)上的单调性(2)(2013沙市中学月考)求函数ylog(x24x3)的单调区间解(1)法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(k0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(k0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(k0)在(0，上为减函
5、数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x.x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数(2)令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数ylog(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)规律方法 (1)对于
6、给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【训练1】 试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)解法一(定义法)任取1x1x21，则f(x1)f(x2)，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x10，x10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210，0，因此，当a0时，f(x1)f(x
7、2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)为增函数法二(导数法)f(x)当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)0.当a0时，f(x)在(1,1)上为减函数；当a0时，f(x)在(1,1)上为增函数考点二利用单调性求参数【例2】 已知函数f(x).(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递减(2)函数f(x)在(，1)上单调递减，求实数a的取值范围(1)证明任设x1x22，则f(x1)f(x2).(x11)(x21)0，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)
8、上单调递减(2)解法一f(x)a，设x1x20.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a1.答案(1)C(2)D学生用书第14页考点三利用函数的单调性求最值【例3】 已知f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围审题路线(1)当a时，f(x)为具体函数求出f(x)的单调性，利用单调性求最值(2)当x1，)时，f(x)0恒成立转化为x22xa0恒成立解(1)当a时，f(x)x2，联想到
9、g(x)x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，1x1x2，x1x21，2x1x210.又x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上是增函数，f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)在区间1，)上，f(x)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值只需求函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上递减，当x1时，(x)最大值为(1)3.a3，故实数a的取值范围是(3，)规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法
10、：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【训练3】 对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)若f(x)x22，g(x)x，则max(f(x)，g(x)的最小值为_解析f(x)g(x)x22(x)x2x2，当x22(x)x2x20时，x1或x2；当2x1时，x2x20，即f(x)g(x)，所以max(f(x)，g(x)作出图象如图
11、所示，由图象可知函数的最小值在A处取得，所以最小值为f(1)1.答案1 1求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质2复合函数的单调性：对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减3函数的值域常常化归为求
12、函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用易错辨析1分段函数单调性的判定【典例】 (2013金华模拟)f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A(1，) B4,8) C(4,8) D(1,8)错解由题意知解得1a8.答案D错因忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小正解f(x)在R上单调递增，则有解得：4a8.答案B防范措施对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问
13、题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法【自主体验】(2013日照模拟)已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析当x1时，loga10，若f(x)为R上的减函数，则(3a1)x4a0在x1时恒成立令g(x)(3a1)x4a，则必有即a.答案C对应学生用书P229基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2) ByCyx Dyx解析函数yln(x2)在(2，)上是增函数；函数y在1，)上是减函数；函数yx在(0，)上是减函数；函数yx在(0,1)上是减函数
14、，在(1，)上是增函数综上可得在(0，)上是增函数的是yln(x2)，故选A.答案A2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A. B. C. D.解析当a0时，f(x)12x5在(，3)上是减函数；当a0时，由得0a.综上，a的取值范围是0a.答案D3(2013泉州月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析由a1
15、知函数f(x)在a,2a上为单调增函数，则loga(2a)logaa，解得a4.答案48设函数f(x)的最小值为2，则实数a的取值范围是_解析由题意知，当x1时，f(x)min2，故1a2，a3.答案3，)三、解答题9试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.对任意实数x均有f(x)0恒成立，a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2或2，解得k2或k6.故k的取值范围是(，26，).学生用书第15页
