1、第五章数列第3课时等 比 数 列(对应学生用书(文)、(理)7475页)考情分析考点新知理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用有关知识解决相应的问题 理解等比数列的概念. 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 了解等比数列与指数函数的关系.1. (必修5P55习题2(1)改编)设Sn是等比数列an的前n项和，若a11，a632，则S3_答案：7解析：q532，q2，S37.2. (必修5P49习题1改编) an为等比数列，a26，a5162，则an的通项公式an_答案：an23n1解析：由a26，a5162，得所以a12，q3.3. (必修5P49习题6改编)等比数
2、列an中，a10，a2a42a3a5a4a636，则a3a5_答案：6解析：a2a42a3a5a4a6(a3a5)236，又a10， a3，a50， a3a56.4. (必修5P49习题7(2)改编)已知两个数k9和6k的等比中项是2k，则k_答案：3解析：由已知得(2k)2(k9)(6k)，kN*， k3.5. (必修5P51例2改编)等比数列an中，S37，S663，则an_答案：2n1解析：由已知得a11，q2； an2n1.1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列(2) 符号语言：_q(nN，q是等比
3、数列的公比)2. 等比数列的通项公式设an是首项为a1，公比为q的等比数列，则第n项ana1qn1推广：anamq(nm)3. 等比中项若a，G，b成等比数列，则G为a和b的等比中项且G4. 等比数列的前n项和公式(1) 当q1时，Snna1(2) 当q1时，Sn5. 等比数列的性质(1) anamqnm(2) 等比数列an中，对任意的m、n、p、qN*，若mnpq，则amanapaq特殊的，若mn2p，则amana(3) 等比数列an中依次每m项的和仍成等比数列，即Sm、S2mSm、S3mS2m、仍成等比数列，其公比为qm(q1)备课札记题型1等比数列的基本运算例1等比数列an的前n项和为S
4、n，已知S1，S3，S2成等差数列(1) 求an的公比q；(2) 若a1a33，求Sn.解：(1) S1，S3，S2成等差数列， 2S3S1S2，即2(a1a2a3)a1a1a2， 2a3a2， q.(2) a3a1q2a1， a1a13， a14， Sn.已知数列an的前n项和为Sn，a11，且2an1Sn2(nN)(1) 求a2，a3的值，并求数列an的通项公式；(2) 解不等式Sn(nN)解：(1) 2a2S12a123， a2. 2a3S22a1a22， a3. 2an1Sn2， 2anSn12(n2)，两式相减，得2an12anSnSn1. 2an12anan.则an1an(n2)
5、a2a1， an1an(nN) a110， ，即an为等比数列，ann1.(2) 3n1， 数列是首项为3，公比为的等比数列数列的前5项为：3，2，.an的前5项为：1，. n1，2，3时，Sn成立；而n4时，Sn； n5时，1，an1， Sn. 不等式Sn(nN)的解集为1，2，3题型2等比数列的判定与证明例2已知数列an的前n项和为Sn，3Snan1(nN)(1) 求a1，a2；(2) 求证：数列an是等比数列；(3) 求an和Sn.(1) 解：由3S1a11，得3a1a11， a1.又3S2a21，即3a13a2a21，得a2.(2) 证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)
6、，得，所以an是首项为，公比为的等比数列(3) 解：由(2)可得ann，Sn.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1) 求证：数列ann是等比数列；(2) 求数列an的前n项和Sn；(3) 求证：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立(1) 证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2) 解：由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n，所以数列an的前n项和Sn.(3) 证明：对任意的nN*，Sn14Sn4(3n2n4)0，所以不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立题型3等比数
7、列的性质例3已知等比数列an中，a232，a8，an1an.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设Tnlog2a1log2a2log2an，求Tn的最大值及相应的n值解：(1) q6， an1an，所以q.以a164为首项，所以通项公式为an64n127n(nN)(2) 设bnlog2an，则bnlog227n7n.所以bn是首项为6，公差为1的等差数列Tn6n(1)n2n(n)2.因为n是自然数，所以n6或n7时，Tn最大，其最大值是T6T721.已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是_答案：解析：a5a2q3，2q3，q，a14，an423n
8、，akak1，a1a2a2a3anan13232.题型4等比数列的应用例4定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln(x)其中是“保等比数列函数”的是_(填序号)答案：解析：验证： q2； .已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.(1) 求数列an与bn的通项公式；(2) 设cnabn，证明：当且仅当n3时，cn1cn.(1) 解：a1S14，当n2时，anSnSn12n(n1)2(n1)n
9、4n.又a14适合上式，an4n(nN*)将n1代入Tn2bn，得b12b1，T1b11.当n2时，Tn12bn1，Tn2bn，bnTnTn1bn1bn，bnbn1，bn21n.(2) 证明：证法1：由cnabnn225n，得.当且仅当n3时，1，即cn1cn.证法2：由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当n3时，cn1cn0，即cn10时，求数列an的最小项(1) 证明： bnann2， bn1an1(n1)22an(n1)24(n1)2(n1)22an2n22bn(n2)由a12a1，得a24a，b2a244a4， a1， b20，即bn从第2
10、项起是以2为公比的等比数列(2) 解：由(1)知bnSna3a4(2a2)2n，当n2时，2. Sn是等比数列， (n2)是常数， 3a40，即a.(3) 解：由(1)知当n2时，bn(4a4)2n2(a1)2n， an 数列an为2a1，4a，8a1，16a，32a7，显然最小项是前三项中的一项当a时，最小项为8a1；当a时，最小项为4a或8a1；当a时，最小项为4a；当a时，最小项为4a或2a1；当a时，最小项为2a1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q1和q1进行讨论3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：方程的思想：等比数列中有五个量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a1，q；分类的思想：当a10，q1或者a10，0q0，0q1或者a11时，等比数列an递减；当q0时，等比数列为摆动数列；当q1时，等比数列为常数列；函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要
