1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系（1）三种位置关系：_、_、_.(2)两种研究方法：相交相切相离相交相切相离l=2.圆与圆的位置关系设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r10),圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).相交相切相离方法位置关系几何法:圆心距d=|C1C2|与r1,r2的关系相离_外切_相交_内切d=|r1-r2|(r1r2)内含0d|r1-r2|(r1r2)dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不
2、充分条件.()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4)过圆O：x2+y2=r2外一点P（x0,y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0 x+y0y=r2.()【解析】(1)错误.当k=1时，圆心到直线的距离此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则解得所以，“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件.（2）错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含.（3）错误.只有当两圆相交时
3、，方程才是公共弦所在的直线方程.（4）正确.由已知可得O，P，A，B四点共圆，其方程为即x2+y2-x0 x-y0y=0,又圆O方程：x2+y2=r2,-得:x0 x+y0y=r2,而两圆相交于A,B两点，故直线AB的方程是x0 x+y0y=r2.答案：(1)(2)(3)(4)1.圆（x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是()(A)相切(B)相交但直线不过圆心(C)相交过圆心(D)相离【解析】选B.由题意知圆心（1，-2）到直线2x+y-5=0的距离且21+(-2)-50,因此该直线与圆相交但不过圆心.2.已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)
4、2+(y-b-2)2=1(a,bR)，那么两圆的位置关系是()(A)内含(B)内切(C)相交(D)外切【解析】选C.由已知O1(a,b),r1=2;O2(a+1,b+2),r2=1.|O1O2|=1=r1-r23=r1+r2,两圆相交.3.圆x2+y2-4x=0在点P（）处的切线方程为()【解析】选D.圆的方程可化为（x-2)2+y2=4，圆心坐标为（2，0），半径为2，点P在圆上，设切线方程为切线方程为4.已知点M（x0,y0)是圆x2+y2=r2（r0)内异于圆心的一点，则直线x0 x+y0y=r2与此圆的位置关系是_.【解析】因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内的一点，所
5、以x02+y02r2，圆心到直线x0 x+y0y=r2的距离所以直线与圆相离.答案：相离5.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是_.【解析】将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为（x-1)2+(y+2)2=1,圆心坐标为（1，-2），半径为1.若直线与圆无公共点，则有m10.答案：(-,0)(10,+)考向 1利用“几何法”研究直线与圆的位置关系【典例1】(1)(2012安徽高考）若直线x-y+1=0与圆C：（x-a）2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()(A)-3，-1(B)-1,3(C)-3,1(D)(-,-31,+)（2）（2
6、012福建高考）直线与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()(3)（2012天津高考）设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是()【思路点拨】(1)利用几何法.根据圆心到直线的距离不大于半径构建不等式求解.(2)利用几何法，根据弦长求解.(3)先根据圆心到直线的距离等于半径，得到m,n的等量关系，再利用基本不等式求解.【规范解答】(1)选C.圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,则-3a1.（2）选B.圆x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线的距离又圆的半径为r=2
7、.(3)选D.因为直线与圆相切，所以d=r，令m+n=t，则t2-4t-40t【互动探究】过点P（2，4）引本例题（3）中圆的切线，则切线方程如何？【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0，因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，即解得所以所求切线方程为即4x-3y+4=0.所以切线方程为x=2或4x-3y+4=0.【拓展提升】1.几何法判断直线与圆的位置关系的流程2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤（1）方法：待定系数法.（2）步骤：
8、判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一条切线；若在圆外，则有且只有两条切线；设切线方程（一般设点斜式方程）；利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值；得切线方程.【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.【变式备选】已知直线l:y=kx+1,圆C：（x-1)2+(y+1)2=12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.【解析】（1）因为不论k为何实数，直线l总过点A（0，1），而所以点A（0，1）在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A.所以不论k为何实数，直线l和
9、圆C总有两个交点.（2）由平面几何知识知过圆内定点A（0，1）的弦，只有和AC垂直时才最短，而此时点A（0，1）为弦的中点，由勾股定理，知弦长为即直线l被圆C截得的最短弦长为考向 2利用“代数法”研究直线与圆的位置关系【典例2】（1）（2013上饶模拟）已知圆M：（x+cos)2+(y-sin)2=1，直线l:y=kx,下面四个命题中的真命题为()（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切（B）对任意实数k与，直线l和圆M都没有公共点（C）对任意实数，必存在实数k,使得直线l和圆M相切（D）对任意实数k,必存在实数，使得直线l和圆M相切（2）（2013盐城模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2
10、+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.求k的取值范围；以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在常数k，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)将圆的方程与直线方程联立，求得方程组的解，再逐个验证其真假.(2)将过点P（0，2）的直线方程与圆Q的方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，利用其判别式大于0构建关于k的不等式求解.假设存在，利用共线，构建关于k的方程求解.但需验证k的值是否在中范围内.【规范解答】(1)选D.圆的方程是x2+y2+2xcos-2ysin=0,将y=kx代入，
11、得(1+k2)x2+2(cos-ksin)x=0,解得因此对任意实数k,，直线与圆至少有一个公共点（0，0），选项B不正确;只要x20，直线与圆就存在两个公共点，即只要ksin-cos 0即可，根据k,的任意性，知选项A不正确；又当x2=0,即ksin=cos 时，若=k1(k1Z),此时sin=0,cos=1,就不存在实数k使得等式cos=ksin 成立，故选项C不正确,反之，对任意实数k,当k=0时，只要当k0时，只要满足即可,故选项D正确.故选D.（2）圆的方程可写成（x-6)2+y2=4,所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2,代入圆方程得x2+(kx
12、+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.(i)直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4(k-3)2-436(1+k2)=42(-8k2-6k)0,解得即k的取值范围为假设存在常数k，设A(x1,y1),B(x2,y2),则由方程(i),得又y1+y2=k(x1+x2)+4.(iii)而P（0，2），Q（6，0），=（6，-2），因为所以与共线等价于-2（x1+x2)=6(y1+y2),即-(x1+x2)=3(y1+y2),将(ii)(iii)代入上式，解得由知故不存在符合题意的常数k.【拓展提升】1.代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤(1)将直线方程与
13、圆的方程联立，消去x（或y）得到关于y（或x）的一元二次方程.(2)求上述方程的判别式，并判断其符号.(3)得出结论.2.代数法求直线被圆截得的弦长直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长【变式训练】已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足(为参数）.（1）若|AB|=求直线l的方程.（2）若2，求直线l的方程.(3)求实数的取值范围.【解析】(1)当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足，故可设所求直线l的方程为y=k1x+1,代入圆的方程，整理得（1+k12)x2+2k1x-3=0,设A（x1,y1
14、),B(x2,y2),则利用弦长公式可求得k1=1，故直线方程为y=x+1或y=-x+1.（2）当直线l的斜率不存在时，不满足，故可设所求直线l的方程为y=k2x+1.代入圆的方程，整理得(1+k22)x2+2k2x-3=0,(*)设A（x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程（*）的两根，由可得x1=-2x2,2得解得所以直线l的方程为(3)当直线l的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时，可设所求直线l的方程为y=k3x+1,代入圆的方程，整理得（1+k32)x2+2k3x-3=0,(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程（*）的两根,由可得x1=-x2,2得而
15、由可解得所以实数的取值范围为考向 3圆与圆的位置关系【典例3】（1）(2012山东高考）圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离(2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为则a=_.(3)（2013咸阳模拟）已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切，则实数m=_.【思路点拨】(1)利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与两半径和、差的绝对值的关系.(2)两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半
16、及弦心距构成的直角三角形求解.(3)利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解.【规范解答】(1)选B.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心距两圆半径和为5、差的绝对值为1，所以所以两圆相交.(2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4又a0,结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知答案：1(3)两圆的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4,圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为3，2.圆C1与圆C2外切，|C1C2|=3+2=5,即：解
17、得m=-5或2.答案：-5或2【拓展提升】1.判断两圆位置关系的方法用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系.2.两圆公切线的条数位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234【变式训练】两个圆：C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条【解析】选B.由题知C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心C1(-1,-1),C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1),两圆半径均为2，又|C1C2|=则两圆相交只有两条公切线.【创新体验】直线与圆、圆与圆位置关系的创新命题【典例】
18、（2012江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为_【思路点拨】找准创新点若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点寻找突破口（1）作出符合题设条件的示意图（2）结合图形得圆C的圆心C到直线y=kx-2的距离不大于2【规范解答】如图，直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y=kx-2的距离不大于2即可.而圆C的标准方程为（x-4)2+y2=1,圆心C（4，0）到直线y=kx-
19、2的距离由题意知整理得3k2-4k0,解得答案：【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为圆心C到直线的距离问题，进而得到关于k的不等式，从而确定出k的范围，得出k的最大值，这种以“以形助解”探究解题思路的思想方法值得我们仔细体会.2.技巧提升：对于直线与圆、圆与圆位置关系的创新问题，解题的关键是作出符合要求的示意图,通过数形结合将创新信息转化为常规的直线与圆、圆与圆的位置关系，再利用处理直线与圆、圆与圆的位置关系的方法来解决.1.（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A，
20、B两点，则弦AB的长等于()【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以2.（2012陕西高考）已知圆C：x2+y2-4x=0,l是过点P（3，0）的直线,则()（A）l与C相交（B）l与C相切（C）l与C相离（D）以上三个选项均有可能【解析】选A.方法一：圆C的方程是（x-2）2+y2=4，点P到圆心C（2,0）的距离d=12，点P在圆C内部，直线l与圆C相交.方法二：将点P的坐标代入圆的方程，得：32+02-43=9-12=-30,若AB中有且仅有一个元素，则r的取值集合为()(A)3 (B)7(C)3，7 (D)2，7【解析】选C.由已知得圆O：x2+y2=
21、4与圆C：(x-3)2+(y-4)2=r2(r0)相切，而当圆O与圆C外切时，|OC|=r+2=5,得r=3.当圆O与圆C内切时，|OC|=r-2=5,得r=7.综上r=3或7.2.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.（1）求圆的方程.（2）设直线ax-y+5=0(a0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.（3）在（2）的条件下，是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设圆心为M（m,0)（mZ).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以即|4m
22、-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为（x-1)2+y2=25.（2）把直线ax-y+5=0,即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故=4(5a-1)2-4(a2+1)0.即12a2-5a0,由于a0,解得所以实数a的取值范围是(3)设符合条件的实数a存在，由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB斜率为a,则直线l的斜率为l的方程为y=(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0,由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2-4a=0,解得由于故存在实数使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB.
