1、第三节三角函数的图像与性质1.周期函数和最小正周期(1)周期函数：一般地，对于函数f(x),如果存在_，对定义域内的任意一个x值，都有_,则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期.(2)最小正周期：周期函数_中最小的一个，称为最小正周期.非零实数Tf(x+T)=f(x)正周期2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域_值域_RRx|xR且x+k,kZ-1,1-1,1R函数y=sin xy=cos xy=tan x单调性当x2k-,2k+(kZ)时，函数是增加的,当x2k+,2k+(kZ)时，函数是减少的当x2k-,2k(kZ)时，函
2、数是增加的，当x2k,2k+(kZ)时，函数是减少的当x(k-,k+)(kZ)时，函数是增加的函数y=sin xy=cos xy=tan x最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=_时,ymax=1;x=_时,ymin=-1无最大值和最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数2k(kZ)+2k(kZ)函数y=sin xy=cos xy=tan x对称性对称中心_对称轴无对称轴最小正周期22(k,0),kZ(k+,0),kZ(,0),kZx=k+,kZx=k,kZ判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”).(1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.()(2)y=sin x在x0
3、,上是增加的.()(3)y=cos x在第一、二象限内是减少的.()(4)y=tan x在整个定义域上是增加的.()(5)函数y=sin xcos x是R上的奇函数.()(6)y=tan 2x的最小正周期为.()【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正周期.(2)正确.由y=sin x在x上是增加的，知y=sin x在0,上是增加的.(3)错误.y=cos x在（2k,2k+）（kZ)上是减少的，但不能说在第一、二象限内是减少的.(4)错误.y=tan x在（k-,k+)（kZ）上是增加的，但在整个定义域上并不
4、单调.（5）正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x).由奇函数定义可知y=f(x)=sin xcos x是R上的奇函数.（6）错误.由知y=tan 2x的最小正周期为答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.下列函数中，在上是增加的是()(A)y=sin x (B)y=cos x(C)y=sin 2x (D)y=cos 2x【解析】选D.由x ,，得2x,2,又由y=cos x在2k-,2k(kZ)上是增加的，故y=cos 2x在 ,上是增加的.2.函数的图像的一条对称轴方程是()【解析】选B.方法一：由2x+=k,kZ得,时，故选B.方法二：排除
5、法.在函数的对称轴上，函数取最大或最小值.而当时，此时函数取得最大值，故是函数的一条对称轴.3.函数f(x)=tan x(0)的图像与直线y=a相交的相邻两交点间距离是,则的值是()【解析】选B.由相邻两交点间距离是,知f(x)的周期是,由得=2.f(x)=tan 2x，4.函数y=sin(x+)的递减区间是_.【解析】由得故函数的递减区间是答案：5.函数的定义域是_.【解析】由题意知即即答案：考向 1三角函数的定义域和值域【典例1】(1)已知函数y=sin x的定义域为a,b,值域为则b-a的值不可能是()（2）当时，函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是_，最大值是_.(3)(20
6、13黄山模拟)函数y=lg(1-tanx)的定义域是.【思路点拨】(1)作出函数图像数形结合求解.(2)利用同角三角函数关系式转化为关于sin x的二次函数求解.(3)利用三角函数线或正切函数图像解不等式即可.【规范解答】（1）选A.画出函数ysin x的草图，由图像知，当定义域为时，当定义域为或时，所以ba的取值范围为（2）因为所以又y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1故当时，当sin x=1或时，ymax=2.答案：2(3)由1-tanx0,得tanx1.结合图像得函数的定义域为(k-,k+)(kZ).答案:(k-,k+)(kZ)【互动探究】本例题（2）中若将co
7、s x用sin x代替，sin x用cos x代替，又将如何求解？【解析】由所以y=3-cos x-2sin2x=2cos2x-cos x+1当时，当cos x=-1时，ymax=4.【拓展提升】三角函数值域的不同求法（1）利用sin x和cos x的值域直接求.（2）把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域.（3）把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.（4）利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.【变式备选】（1）函数的定义域为_.（2）求函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x0,的最大值和最小值.【解
8、析】（1）由2sin x-10得又sin x1，答案：（2）设得当t=1时，ymax=1；当t=-1时，ymin=-1.考向 2三角函数的单调性【典例2】(1)(2013西安模拟)同时具有性质:最小正周期是;图像关于直线x=对称;在上是增加的一个函数是()(A)y=sin()(B)y=sin(2x-)(C)y=cos(2x+)(D)y=sin(2x+)（2）函数的递增区间为_，递减区间为_.(3)函数y=|tan x|的递增区间为_，递减区间为_.【思路点拨】(1)根据周期性、对称性及单调性逐一判断.（2）利用诱导公式将x的系数化成正值，再利用正弦函数的单调区间求解.(3)利用数形结合法求解.
9、【规范解答】(1)选B.选项A中函数的周期为4,故不正确;选项B中,当x=时,y=sin()=sin =1,故对称轴为x=;由得函数是增加的,故B正确;选项C中,当时,02x+,y=cos(2x+)是减少的,故C错误;选项D中，函数在上不是增加的,故选B.(2)原函数可化为故所求函数的递增区间是的减区间.由得所求函数的递减区间是的递增区间.由得故所求函数的递增区间为递减区间为答案：(3)作出函数y=|tan x|的图像如图.可知所求函数的递增区间是递减区间是答案：【拓展提升】三角函数单调区间的求法（1）代换法就是将比较复杂的三角函数化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式，然后将x
10、+看作一个角，利用基本三角函数的单调性来求所求的三角函数的单调区间.（2）图像法从图像上看，从左到右，图像呈上升趋势的区间为单调递增区间，图像呈下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间.【提醒】求解形如y=Asin(x+)的函数的单调区间时，若0时，则应先化为0的形式；另外还应注意考虑函数自身的定义域.【变式训练】已知函数y=sin x在区间上是减少的，则的取值范围是()(A)，0）(B)-3，0(C)（0，(D)（0，3【解析】选A.方法一：由题意可知0,函数f(x)=sin(x+)在(，)内是减小的，则的取值范围是()【误区警示】本题易出现的错误主要有两个
11、方面：(1)f(x)=sin(x+)与f(x)=sin x的图像关系不清.(2)区间(,)与函数f(x)=sin(x+)的增减区间之间关系不明，致使误解.【规范解答】选A.方法一：结合y=sin x的图像，可知y=sin x在()上是减少的，而y=sin(x+)=sin(x+)，可知y=sin x图像向左平移个单位之后可得y=sin(x+)的图像，故y=sin(x+)在上是减少的，故应有(,)，即解得方法二：结合特殊值，求解三角函数的减区间，并验证结果.取=,f(x)=sin(),其递减区间为kZ,显然(,)kZ,排除B，C.取=2,f(x)=sin(2x+),其递减区间为kZ,显然(,)kZ
12、,排除D.【思考点评】利用单调性确定的范围对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先要明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次要求出已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题则利用特值验证排除法求解更为简捷.1.（2013铜川模拟）函数的定义域为()(D)R【解析】选C.若函数有意义，则即解得故选C.2.(2013宿州模拟）函数的图像的对称轴方程可能是()【解析】选D.方法一：由得当k=0时，故选D.方法二：根据函数在对称轴处取得最值求解，经逐一验证知,满足条件.3.(2013上饶模拟）设函数f(x)=x3cos x+sin x+1.若f(a)=
13、11,则f(-a)=_.【解析】由条件知f(a)=a3cos a+sin a+1=11,所以a3cos a+sin a=10,故f(-a)=(-a)3cos(-a)+sin(-a)+1=-(a3cos a+sin a)+1=-10+1=-9.答案：-94.(2013商洛模拟)函数f(x)=3sin(2x-)的图像为C,图像C关于直线x=对称;函数f(x)在区间上是增加的;由y=3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C;图像C关于点(,0)对称;其中,真命题的编号是(写出所有真命题的编号).【解析】中,将x=代入2x-得故f(x)取得最小值,因而正确;中,当x 时,2x-,故f(x)在
14、区间上是增加的,因而正确;中,当y=3sin2x的图像向右平移个单位时,得y=3sin2(x-)=3sin(2x-)的图像,故不正确.中,当x=时,f(x)=3sin(2 )=2sin =,故(,0)不是函数图像的对称中心.综上正确.答案:1.设函数若对任意xR,存在x1,x2，使f(x1)f(x)f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选B.由f(x1)f(x)f(x2)恒成立，故f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，|x1-x2|的最小值为半个周期，由得2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为,且当时，f(x)=sin x，则的值为_.【解析】答案：
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