1、第二节诱 导 公 式三角函数的诱导公式（1）三角函数的诱导公式函数角正 弦余 弦正 切+2k（kZ）sin cos tan-sin _-tan+-sin-cos _cos tan 函数角正 弦余 弦正 切-_-cos _cos _cot cos _-cot sin-tan sin-sin（2）诱导公式的记忆方法与规律记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（即公式中的角可以表示为的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把角看作是锐角时原函数值的符号）可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”).(1)sin(+)=-sin 成
2、立的条件是为锐角.()(2)诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若cos(n-)=(nZ)，则cos=.()(4)诱导公式的记忆口诀中“函数名不变，符号看象限”中的符号与的大小无关.()(5)若则()【解析】（1）错误.sin(+)=-sin,公式成立的条件是为任意角.(2）错误.对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的诱导公式(3)错误.当n为偶数时，当n为奇数时，(4)正确.诱导公式中“符号看象限”中的符号是把任意角都看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关.(5)正确.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1.已知sin(3+)=,则cos的值为()(A)(B)(C)(D)【
3、解析】选D.由sin(3+)=sin(+)=-sin=sin=,cos=2.的值是()(A)(B)(C)0 (D)【解析】选A.3.点A（sin 2 012,cos 2 012)在直角坐标平面中位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.sin 2 012=sin(6360-148)=sin(-148)=-sin 1480,cos 2 012=cos(6360-148)=cos(-148)=cos 1480.故选C.4.已知tan(+)=3,则_.【解析】tan(+)=3,tan=3.原式答案：7考向 1利用诱导公式求值或求角【典例1】(1)已知则等于()(A
4、)(B)(C)(D)(2)已知则的值为()(A)(B)(C)(D)（3）（2013铜陵模拟）已知sin 是方程5x2-7x-6=0的根，则=_.【思路点拨】(1)利用诱导公式及同角三角函数关系求解.(2)利用诱导公式及对数运算可得tan,再利用同角三角函数关系求sin 可解.(3)先化简所给式子，由方程求出sin，然后再代入求值.【规范解答】（1）选D.由得,即又(2)选B.由已知得即故cos=3sin,又sin2+cos2=1,即10sin2=1,又-0,sin=-(3)由sin 是方程5x2-7x-6=0的根，可得或sin=2(舍）,原式由可知是第三象限或者第四象限角.当是第三象限角时，故
5、当是第四象限角时，所求式子的值为答案：【互动探究】若将本例题（3）中的条件改为“若cos 是方程5x2-7x-6=0的根”，则如何求所给式子的值.【解析】由cos 是方程5x2-7x-6=0的根，可得或cos=2(舍去）,原式=-tan,由可知是第二象限或第三象限角.当是第二象限角时，当是第三象限角时，故所求式子的值为【拓展提升】利用诱导公式解题的原则和步骤（1）应用诱导公式化简的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.（2）诱导公式应用的步骤：【提醒】用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号.【变式备选】已知求的值.【解析】考向 2利用诱导公式化简、证明【典例2】（1）_.(2)已知为第三
6、象限角,化简f()；若求f()的值.【思路点拨】（1）利用诱导公式化简即可.(2)直接利用诱导公式化简；利用为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f()的值.【规范解答】(1)原式答案：-1(2)-sin=,从而sin=.又为第三象限角,即f()的值为.【互动探究】将本例题(1)式子变为如何化简?【解析】原式【拓展提升】1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求（1）思路：分析结构特点，选择恰当的公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式.（2）化简要求：化简过程是恒等变形；结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从
7、右向左证（一般从稍复杂的一边开始证明）.(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【变式备选】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解析】(1)原式(2)当k=2n(nZ)时,原式当k=2n+1（nZ）时，原式综上考向 3诱导公式在三角形中的应用【典例3】（1）（2013萍乡模拟）在ABC中，若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则ABC必是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形（2）在ABC中，求ABC的三个内角.【思路点拨】（1）利用诱导公式将所给式子化简，再由三角函数值判断角的关系，最后得结论.(
8、2)利用诱导公式及三角形中角的范围，先确定A，从而求出B，C.【规范解答】（1）选C.sin(A+B-C)=sin(A-B+C),sin(-2C)=sin(-2B)，sin 2C=sin 2B.0C,0B,2C=2B或2C=-2B,B=C或ABC为等腰三角形或直角三角形.（2）由得sin A=cos A,即tan A=1,又0A,又由得又0B,故故所以ABC中，【拓展提升】1.三角形中的诱导公式在ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,2.三角形中的隐含条件【变式训练
9、】在ABC中，（1）求证：（2）若求证：三角形ABC为钝角三角形.【证明】(1)在ABC中，AB-C,(2)若则(-sin A)(-cos B)tan C0,即sin Acos Btan C0,在ABC中,0A,0B,0C0,或角B与角C中有一角为钝角,故ABC为钝角三角形.【易错误区】整体代换思想不明致误【典例】（2013黄冈模拟）已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+),且f(4)=3,则f(2 013)的值为()(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3【误区警示】本题易出现的错误有两个方面：（1）将x=4代入解析式后不会利用诱导公式转化或转化错误.(2)将x=2 013代入
10、解析式化简后，不会利用整体代换思想导致找不到解题思路.【规范解答】选D.f(4)=asin(4+)+bcos(4+)=asin+bcos=3.f(2 013)=asin(2 013+)+bcos(2 013+)=asin(+)+bcos(+)=-asin-bcos=-(asin+bcos)=-3.f(2 013)=-3.【思考点评】与函数有关的三角函数问题解题策略1.一般是先化简函数关系式，如利用诱导公式或同角三角函数关系化简，然后再求值.2.对于有条件的求值问题，应先利用已知条件整理化简得出关系式后整体代换得所求的值.1.(2013阜阳模拟)sin600的值是()(A)(B)(C)(D)【解
11、析】选C.sin600=sin(360+240)=sin240=sin(180+60)=-sin60=2.（2013宜春模拟）已知的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.3.（2013宝鸡模拟）已知A为ABC的内角，且则sin A的值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.sin(-A)=sin(4-A)=-sin(+A)=-cosA=cosA=又0A,sinA=4.(2013抚州模拟）若cos 130=a,则tan 50=_.【解析】cos 130=cos(180-50)=-cos 50=a,cos 50=-a(a0),答案：5.(2013汉中模拟）已知则=_.【解析】由已知，原式 原式答案：1.若则cos(2-)的值是_.【解析】由得答案：2.已知关于x的方程的两根为则m=_.【解析】sin(5-)=sin 4+(-)=sin,由已知可得,sin,cos 是方程的两根，故式平方得由得答案：
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