1、第六节幂函数与二次函数1.二次函数的解析式ax2+bx+c(h,k)2二次函数的图像与性质函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)图像定义域RR值域_函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)单调性在_上是减少的，在_上是增加的在_上是增加的，在_上是减少的奇偶性当_时为偶函数最值当时，函数有最小值_当时，函数有最大值_顶点_对称轴函数的图像关于_成轴对称b=03.幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即_，这样的函数称为幂函数.4.幂函数的图像幂函数的图像如图：y=x5.幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域_R_值 域_奇偶
2、性_偶_单调性增_公共点_性 质函数RR0,+)x|xR且x0R0,+）R0，+）y|yR且y0奇奇非奇非偶奇x0,+)时，增，x(-,0时，减增增x(0,+)时减，x(-,0)时减（1，1）判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）二次函数y=ax2+bx+c,xa,b的最值一定是()（2）二次函数y=ax2+bx+c,xR，不可能是偶函数.()（3）幂函数的图像都经过点(1,1）和点(0,0).()（4）当n0时，幂函数y=xn在定义域上是增加的.()【解析】（1）错误.当时，二次函数的最值不是（2）错误.当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c是偶函数.（3）错误.幂函数y=
3、x-1不经过点（0,0）.（4）错误.幂函数y=x2在定义域上不单调.答案：（1）(2)(3)(4)1.已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式为()(A)f(x)=x2 (B)f(x)=x-2(C)(D)f(x)=x【解析】选B.设f(x)=xn,则即n=-2,f(x)=x-2.2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5,-3）上()(A)先减后增(B)先增后减(C)单调递减(D)单调递增【解析】选D.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，2m=0,m=0.则f(x)=-x2+3在（-5,-3）上是增加的.3.图中C1,C2,C3为三个幂函
4、数y=xk在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则k10,0k21,故选A.4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减少的，则实数a的取值范围是_.【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由题意知1-a3,a-2.答案：(-,-25.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_.【解析】当m=0时，f(x)=-10恒成立，符合题意.当m0时，则有即-4m0,综上知-40)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,那
5、么二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像有可能是()(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.当a=-2时,求f(x)的最值；求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数；当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【思路点拨】（1）先根据条件求出两个根，进而得到对称轴方程，最后可得结论.（2）解答和可根据对称轴与区间的关系,结合单调性直接求解；对于,应先将函数化为分段函数,画出函数图像，再根据图像求单调区间.【规范解答】（1）选C.因为一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,所以两个根为1，3，所以对应的二次
6、函数其对称轴为x=2.图像与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),故选C.(2)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减少的,在（2,6上为增加的,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3其图像如图所示：又x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减少的,在区间-1,0和1,6上为增加的.【拓展提升】1.求二次函数最值的类型及解
7、法（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.（2）二次函数最值问题的解题关键是对称轴与区间的关系,常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.2.与二次函数单调性有关的问题的解法根据二次函数的单调性，结合二次函数图像的开口方向及升、降情况对对称轴进行分析、讨论，进而求解.【变式训练】已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.（1）当a=2,x-2,3时，求函数f(x)的值域.（2）若函数f(x)在-1,3上的最大值为1，求实数a的值.【解析】（1）当a=2时，f(x)=
8、x2+3x-3f(x)max=f(3)=15,值域为(2)对称轴为当即时，f(x)max=f(3)=6a+3,6a+3=1,即满足题意；当即时，f(x)max=f(-1)=-2a-1,-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上可知或-1.考向 2二次函数的综合应用【典例2】(1)(2013南昌模拟)设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：当c=0时，y=f(x)是奇函数;当b=0,c0时，方程f(x)=0只有一个实根;函数y=f(x)的图像关于点(0,c)对称；方程f(x)=0至多有两个实根，其中正确的命题为_.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR.若函数
9、f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间.在的条件下，f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，试求k的范围.【思路点拨】(1)根据奇函数的定义判断；把f(x)用分段函数表示，再求实根；证明f(-x)=2c-f(x)；当c=0，b0时，方程有3个根.(2)根据f(-1)=0及列方程组求解.分离参数，转化为求函数的最值问题.【规范解答】(1)对于，当c=0时,f(-x)=-x|-x|-bx=-(x|x|+bx)=-f(x)，故正确;对于，当x0时，x2+c=0无解.当x0时,由-x2+c=0得x2=c.故正确.对于,f(x)=x|x|+bx+c,x|x|+bx=f(x)
10、-c,f(-x)=-x|-x|-bx+c=-(x|x|+bx)+c=-f(x)-c+c=2c-f(x),故正确;对于，当c=0，b0时，f(x)=x|x|+bx.令f(x)=0得x=0或|x|=-b.x=0或x=b或x=-b,此时方程有3个实根，故错.答案：（2）由题意知f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.单调减区间为(-,-1,单调增区间为-1,+).f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，转化为x2+x+1k在-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1，则g(x)在-3,-1上是减少的.g(x)min=g(-1)=1.k1,即k的取值范围为(-,1).【拓展提升】1.一
11、元二次不等式恒成立问题的两种解法（1）分离参数法.把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题.（2）不等式组法.借助二次函数的图像性质，列不等式组求解.2.一元二次方程根的分布问题解决一元二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图像数形结合来解,一般从以下四个方面分析：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号.【变式训练】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1x0，求实数a的取值范围.【解析】方法一：当a0时，由x(1,4)，f(x)0得：或或 或或a1或或,即当a0,即ax2-2x+20,x(1,4)，得在（1，4）上恒成立.令所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要即可
12、.故实数a的取值范围为考向 3 幂函数及其性质【典例3】（1）幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），则幂函数y=f(x)的图像是()（2）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在（0，+）上是减少的，求满足的实数a的取值范围【思路点拨】（1）利用待定系数法先求出函数的解析式，再根据函数的解析式研究其性质即可得到图像.（2）首先根据单调性求m的范围，其次由图像的对称性确定m的值，最后根据的大小，求解关于a的不等式.【规范解答】（1）选C.设幂函数的解析式为y=xa,幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），24a,解得 其定义域为0,+)，且是增加的，当0 x1时，其图像在直线y=x的上方，对照选项，
13、故选C.（2）f(x)在(0,+)上是减少的，m2-2m-30,解之得-1m3.又mN+，m=1或m=2.由于f(x)的图像关于y轴对称.|m2-2m-3|为偶数，又当m=2时，|m2-2m-3|为奇数，m=2舍去，因此m=1.又在0,+)上为增加的，等价于0a+13-2a,解之得故实数a的取值范围是【互动探究】若将本例(2)条件“关于y轴对称”改为“关于原点对称”，其余不变，则如何求解?【解析】f(x)在(0,+)上是减少的,m2-2m-30,-1m3.又f(x)的图像关于原点对称,|m2-2m-3|为奇数.又当m=1时，|m2-2m-3|为偶数,m=2.又y=x在R上是增加的,a+13-2
14、a,解得则实数a的取值范围是【拓展提升】幂函数的指数对函数图像的影响当0，1时，幂函数y=x在第一象限的图像特征:取值1010图像特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(1,1)单调性递增递增递减举例y=x2【变式备选】（1）已知05且Z,若幂函数y=x3-是R上的偶函数，则的取值为()（A）1 （B）1，3 （C）1，3，5 （D）0，1，2，3【解析】选A.根据05且Z,得:=0,1,2,3,4,5.使函数y=x3-为偶函数的的值为1,则的取值为1.（2）若a0，则下列不等式成立的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.a0,即a0.2分由a21,知a-1,则a的取值
15、范围是(-,-1.5分（2）记f(x)的最小值为g(a).我们有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|7分()当a0时,f(-a)=-2a2,由(),()知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2.9分（）当aa，则由()知若xa,由()知因此11分综上得12分【失分警示】（下文见规范解答过程）1.（2013上饶模拟）已知则a,b,c的大小关系是()(A)cab (B)abc (C)bac (D)cba【解析】选D.函数在(0,+)上是减少的.即bc,又函数在R上是减少的.即ab.abc.2.（2013福州模拟）若f(x)是幂函数，且满足则=()(A)3 (B)-3 (C)(D)【解析】选C.
16、设f(x)=xn,则3.（2013潍坊模拟）若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间0,2上是增加的，且f(m)f(0),则实数m的取值范围是()(A)0m4 (B)0m2(C)m0 (D)m0或m4【解析】选A.f(x)=ax2-4ax+b=a(x-2)2+b-4a,又函数f(x)在0,2上是增加的，因此函数f(x)在2，4上是减少的，且f(0)=f(4),又f(m)f(0),0m4.4.（2013铜陵模拟）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，其图像上两点的横坐标x1,x2满足x1x2，且x1+x2=1-a,则有()(A)f(x1)f(x2)(B)f(x1)=f(
17、x2)(C)f(x1)f(x2)(D)f(x1),f(x2)的大小不确定【解析】选C.f(x)=a(x+1)2+4-a,0a3,-21-a1,-2x1+x21,从而x2-1,且|x2-(-1)|x1-(-1)|,f(x2)f(x1).1.已知函数f(x)=x2-2ax+5在(-,2上是减少的，且对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,则实数a的取值范围是()(A)1,4 (B)2,3 (C)2,5 (D)3,+)【解析】选B.f(x)=(x-a)2+5-a2,由题意知a2.则|f(x1)-f(x2)|f(1)-f(a)=6-2a-(5-a2)4,解得-1a3,又a2,2a3.2.在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的部分图像，则函数的图像通过哪个图像中的阴影区域()【解析】选C.y=xa中，在第一象限内，直线x=1的右侧，幂函数的图像从上到下相应的a由大变小，观察所给的四个选项，只有C成立，故选C.3.若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最大值为4，则a的值为_.【解析】令f(x)=4得x2-2x+1=4,解得x=-1或x=3,则a+2=3或a=-1,a=1或a=-1.答案：1或-1
