1、考点规范练7函数的基本性质一、基础巩固1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=2-xB.y=xC.y=log2xD.y=-1x答案:B解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-5答案:B解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.3.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+)内()A.单调递增B.单调递
2、减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,所以a0,b0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-b2a1,4-a2x+2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.4,8)C.(4,8)D.(1,8)答案:B解析:由f(x)在R上是增函数,则有a1,4-a20,4-a2+2a,解得4a8.6.若偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(232),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cabD.cba答案:B解析:由偶函数f(x
3、)在区间(-,0上单调递减,可得f(x)在区间(0,+)内单调递增.又因为1log45log232232,所以ba0.a21,12-a1+3a0,解得-120的解集为.答案:x-12x12解析:由奇函数y=f(x)在区间(0,+)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f(x)在区间(-,0)内单调递增,且f-12=0.由f(x)0,可得x12或-12x1,即a0,故04,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是.答案:(-,14,+)解析:画出f(x)=-x2+4x,x4,log2x,x4的图象如图所示.因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1
4、2或a4,解得a1或a4.故实数a的取值范围是(-,14,+).16.已知f(x)是奇函数,g(x)=2+f(x)f(x).若g(2)=3,则g(-2)=.答案:-1解析:由题意可得g(2)=2+f(2)f(2)=3,则f(2)=1.又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)=2+f(-2)f(-2)=2-1-1=-1.17.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,那么我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:f(x)=(x-1)2+5;f(x)=cos2x-4;f(x)=sin x+cosx;f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为.
5、答案:1解析:因为对任意xR,都有f(x)5,所以当x=a时,f(x-a)5,不满足f(0)=0,所以无论正数a取什么值,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;因为f(x)=cos2x-2=sin2x,所以f(x)的图象左右平移4个长度单位时为偶函数,f(x)的图象左右平移2个长度单位时为奇函数,故不是“和谐函数”;因为f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,所以fx-4=2sinx是奇函数,fx+4=2cosx是偶函数,故是“和谐函数”;因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,都不是“和谐函数”,只有是“和谐函数”.三、高考预测18.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x)f(x+2)=-1,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.答案:2.5解析:由已知,可得f(x+4)=f(x+2)+2=-1f(x+2)=-1-1f(x)=f(x).故函数f(x)的周期为4.所以f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),因为22.53,f(2.5)=2.5.所以f(105.5)=2.5.