1、云南衡水实验中学20202021学年第一学期期中考试高二数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的.1. 某校高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，800，现拟对他们高二文理分科的意向进行调查，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本这种抽样方法是（ ）A. 分层抽样B. 系统抽样C. 随机数法D. 抽签法【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样的定义可得到结论【详解】高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，800，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本，则分成80组，间距10，每组10人，抽取编号尾数为3
2、的学生即003，013，023，033，043，按照间距抽取满足系统抽样的定义，故选：B【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间距是解决本题的关键比较基础2. “”是“”成立的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简两个不等式，得两式等价，根据充要条件的定义即得结果.【详解】等价于，等价于，即，两范围一致，故两不等式等价，“”是“”成立的充要条件.故选：A.3. 某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（
3、）A. 193B. 192C. 191D. 190【答案】B【解析】【分析】按分层抽样的定义，按比例计算【详解】由题意，解得故选：B.【点睛】本题考查分层抽样，属于简单题4. 数书九章是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，则输出的值是（ ）A. 22B. 46C. 94D. 190【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足，结束循环，输出.【详解】解：模拟程序的运行过程如下，输入，；，；，；，；，此时不满足循环条件输出.则输出的值是94.故选：C.【
4、点睛】此题考查了循环结构的程序框图的应用，正解依次写出每次循环得到的的值是解此题的关键，属于基础题.5. 命题“对任意的，”的否定是（ ）A. 不存在，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“对任意的，”为全称命题，它的否定为“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.6. 在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.【详解】由题意，关于x的方程有实数根，则满足，解得，所以在区
5、间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】甲班众数为，故，乙班中位数为，故，所以.8. 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有
6、1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】事件A和B的交集为空：A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件，强调的是事件不能同时发生；它们必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，是互斥事件的特例，满足互斥的情况，还得满足A交B为全集；【详解】有3个白球，4个黑球，从中任取3个球：是互斥事件，但不是对立事件；是互斥事件，同时也是对立事件；既不是互斥事件，也不是对立事件；既不是互斥事件，也不是对立事件；故选：B【点睛】本题考查了对立事件的概念，两个事件在时间上互斥同时还共同构成一
7、个全集，属于简单题；9. 已知命题，使得；，使得以下命题为真命题的为A. B. C. D. 【答案】D【解析】的解集为空集，故命题为假命题，为真命题；，使得恒成立，故为真命题，为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C10. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ）甲队的进球技术比乙队好；乙队发挥比甲队稳定；乙队几乎每场都进球；甲队的表现时好时坏.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，
8、得到甲对的技术比乙队好判断；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏. 详解：因为甲队每场进球数为，乙队平均每场进球数为，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以正确；因为甲队全年比赛进球个数的标准差为，乙队全年进球数的标准差为，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以正确；因为乙队的标准差为，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为，说明甲队表现时好时坏，所以正确，故选D. 点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度
9、，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题. 11. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（ ）x01234y2.24.34.54.86.7A. 8.4B. 8.3C. 8.2D. 8.1【答案】B【解析】【分析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.12. 如图四边形是正方形，点，分别在边，上，是等边三角形，在正方形内随机取一点，则该点取自内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接交于
10、，根据题意，得到，设等边三角形的边长为2，分别求出三角形的面积，以及正方形的面积，进而可得所求概率.【详解】连接交于，则，所以设等边三角形的边长为2，所以，所以正方形的面积为，等边三角形的面积为，故所求的概率【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知x与y之间的一组数据如下表：x0123y2468则可求得y与x的线性回归方程必过点_【答案】【解析】【分析】算出即可.【详解】由表中数据可得，所以y与x线性回归方程必过点故答案为：【点睛】本题考查的是线性回归的知识，较简单.14. 设正方形的边长是，在该
11、正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.15. 已知,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】【分析】由题意，命题,因为是的必要不充分条件,即，根据集合的包含关系，即可求解.【详解】由题意，命题,因为是的必要不
12、充分条件,即，则，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的应用，以及集合包含关系的应用，其中解答中根据题意得出集合是集合的子集，根据集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16. 下列四个命题：“”的否定；“若，则”的否命题；在中，“”是“”的充分不必要条件；“函数为奇函数”的充要条件是“”.其中真命题的序号是_(真命题的序号都填上)【答案】【解析】【分析】对于中，根据全称命题与存在性命题的关系，可判定正确；对于中，根据逆命题与否命题的等价关系，可判定正确的；对于中，根据三角函数的性质和三角形的性质，可判定不正确的；对于中，根据正
13、切函数的性质，可判定不正确.【详解】对于中，因为，所以命题“”为假命题，所以命题“”的否定为真命题，所以是正确的；对于中，由，解得或，即命题“若，则”的逆命题为真命题，所以其否命题为真命题，所以是正确的；对于中，例如：，此时，所以充分性不成立，反之，若且，根据三角函数的性质，可得，即必要性成立，所以在中，“”是“”的充分不必要条件是不正确的；对于中，由函数为奇函数可得或，所以不正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及充分条件、必要条件的判定，三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与论证能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过
14、程或演算步骤.17. 已知命题在区间上是减函数；命题q:不等式无解若命题“”为真，命题“”为假，求实数m 的取值范围【答案】3，1【解析】【分析】如果命题pq为真，命题pq为假，则命题p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围【详解】解：f（x）x2+2（m1）x+3的图象是开口朝上，且以直线x1m为对称轴的抛物线，若命题p：f（x）x2+2（m1）x+3在区间（，0）上是减函数为真命题，则1m0，即m1；命题q：“不等式x24x+1m0无解”，则164（1m）0，即m3如果命题pq为真，命题pq为假，则命题p，q一真一假，若p真，q假，则3m1，若p假，q真，则不存在满足条件的m值，3m1实数
15、m的取值范围是3，1【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，复合命题，是中档题18. 已知，（1）并求的最小正周期和单调增区间；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐表运算将表示出来，利用辅助角公式整理成“一角一函数”，利用正弦函数的性质求出的单调区间.（2）由，求出的范围，由正弦函数图象求出值域.【详解】（1）的最小正周期为.由得，() 所以的单调增区间为，（2）由（1）得，.，值域为.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，辅助角公式，三角函数的单调性与周期、值域，属于基础题.19. 某部门为了对该城市共享单车
16、加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据平均数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.【答案】（1）0.01；（2）77；（3）.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；（2）由平均数的公式直接求解即可；（3）先计算满意度评分值在内有人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可.【详解】解：（
17、1）由，解得；（2）这组数据的平均数为；（3）满意度评分值在内有人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：， ，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件：，共6个，所以 .【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，直方图中各个小长方形的面积之和为1；直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；平均数是频率分布直方图的
18、重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，F，G分别为PD，BC中点，.（）求证：FG平面PAB；（）求三棱锥的体积；【答案】（）证明见解析；（） .【解析】【分析】（）通过证明平面平面，进一步得出结论；（）利用等体积法即，进一步求出答案.【详解】（）如图，连接， 是中点，是中点，而平面，平面，平面，又是中点，是中点，而平面，平面，平面，又平面平面，即平面.（）底面，又四边形为菱形，又，平面，而为的中点，.【点睛】本题主要考查立体几何的知识点，属于中档题. 立体几何常用的三种解题方法为：（1）分割法;（2
19、）补形法;（3）等体积法.21. 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：单价（元）8.599.51010.5销量（杯）120110907060（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，.【答案】（1）；（2）单价应该定为10元.【解析】【分析】（1）由表中数据，求得的值，再根据公式，分别求得的值，即可求得回归直线方程；（2
20、）设定价为元，得出利润函数，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由表中数据，则，所以，所以关于的线性回归方程为. （2）设定价为元，则利润函数为，其中，则，可得对称轴方程为（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及其应用，其中解答中熟练利用最小二乘法求得回归系数的值，得出回归直线的方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.22. 已知函数是奇函数.(1)求a的值;(2)求解不等式;(3)当时，恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)由奇函数的性质得出的值；(2)结合的解析式可将化为，解不等式即可得出答案；(3)利用函数在上的单调性以及奇偶性将化为，分离参数结合二次函数的性质得出实数t的取值范围.详解】(1)根据题意，函数.(2)，即，即即，解得：，得.(3)故在上为减函数，即即，又，故综上.【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.