1、第 1 节 机械振动 一、简谐运动1.概念：如果质点的位移与时间的关系遵循 函数的规律，即它的振动图象是一条 曲线，这样的振动叫做简谐运动.2.描述(1)振幅：振动物体离开平衡位置的 距离叫做振幅.(2)周期和频率：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫做振动的周期，用 T表示，单位是秒.单位时间内完成的 的次数叫做振动的频率，用 f 表示，频率的单位是赫兹.周期、频率互为倒数关系.正(余)弦正(余)弦最大全振动全振动(3)相位：做周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态叫做相位.(4)简谐运动的表达式：xAsin(t).式中 A 代表简谐运动的振幅，2 f，用 表示简谐运动的快慢，(t)
2、代表简谐运动的相位，叫做初相位.(5)简谐运动的图象物理意义：表示振动物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线.从平衡位置开始计时，函数表达式为xAsin t，图象如图.从正方向最大位移处开始计时，函数表达式为 xAcos t，图象如图所示.3.回复力：是指物体受到的沿振动方向的合外力，回复力的大小总是与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移方向相反并且总是指向平衡位置.用式子表示为：Fkx.(“”表示回复力与位移的方向相反)特别提醒：不能说回复力就是物体振动时所受的合外力，例如单摆通过平衡位置时，回复力为零，而合外力指向悬点、为向心力.4.简谐运动的能量简谐运动过程中
3、动能和势能相互转化，机械能守恒.振动能量与 有关，越大，能量越大.5.三个特征(1)受力特征：Fkx.(2)运动特征：akmx.(3)能量特征：系统机械能守恒.振幅振幅二、简谐运动的两种基本模型弹簧振子(水平)单摆模型示意图条件忽略弹簧质量、无摩擦等阻力细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小(|x2|，所以|a1|a2|.题型三：受迫振动与共振的应用例3如图所示，在张紧的绳上挂了 a，b，c，d 四个单摆，d 摆球质量较大，其余摆球质量较小，四个单摆的摆长关系为 lclbldla，先让 d 摆动起来(摆角不超过 5)，则下列说法正确的是()A.b 摆发生振动，其余摆均不动B.所有摆均以
4、相同频率振动C.所有摆均以相同摆角振动D.b 摆的振幅最大【解析】d 摆摆动起来后，做简谐运动，振动过程中通过张紧的绳给其余各摆施以周期性的驱动力，因而 a，b，c 三摆均做受迫振动.做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率，即 d 摆做简谐运动的频率，与各摆的固有频率无关，故所有摆均以相同频率振动.如果受迫振动物体的固有频率等于驱动力的频率时，会出现共振现象，振幅最大，由于 lbld，即 b摆固有频率等于驱动力的频率，所以 b 摆发生共振，振幅最大.选项 B、D 正确.【答案】BD题型四：单摆周期公式的应用(测重力加速度)例4单摆测定重力加速度的实验中：(1)实验时用 20 分度的游标卡尺
5、测量摆球直径，示数如图甲所示，该摆球的直径 d mm.(2)悬点到小球底部的长度 l0，示数如图乙所示，l0 cm.(3)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力 F随时间t 变化的图象如图丙所示，然后使单摆保持静止，得到如图丁所示的 Ft 图象.那么：重力加速度的表达式 g (用题目中的物理量 d、l0、t0 表示).设摆球在最低点时 Ep0，已测得当地重力加速度为 g，单摆的周期用 T 表示，那么测得此单摆摆动时的机械能 E 的表达式是 .A.（F1F2）gT22 2 B.（F1F3）gT28 2C.（F3F2）gT26 2 D.（F3F2）gT24 2【解析】(1)由甲图可知，主尺上的读数是 1
6、1 mm，游标尺上第 13 个刻度与主尺对齐，所以游标尺上的读数为 130.05 mm0.65 mm，所以该摆球的直径 d11.65 mm.(2)由乙图可知，悬点到小球底部的长度 l0100.25 cm.(3)平衡位置处拉力最大，最大位移处拉力最小.从图丙中看出单摆的周期为 4t0.单摆摆长 ll0d2，单摆周期公式 T2lg得，重力加速度 g2l012d4t20.(4)由丁图可知，F3mg，单摆在最低点时 F1mgmv2l，根据周期公式变形得摆长 l gT242，最低点的机械能 E12mv2，解得 E（F1F3）gT282，所以 B正确；单摆在最高点时 F2mgcos，最高点的机械能 Emg
7、l(1cos)，解得 E（F3F2）gT242，所以 D 正确.【答案】(1)11.65(2)100.20(100.19100.21 均可)(3)2l012d4t20 BD选择题：1、2 题为单选，3 题为多选.1.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x10sin 4 t(cm)，则下列关于质点运动的说法正确的是()A.质点做简谐运动的振幅为 5 cmB.质点做简谐运动的周期为 4 sC.在 t4 s 时质点的速度最大D.在 t4 s 时质点的位移最大C【解析】由 x10sin 4 t(cm)可知，A10 cm，2T 4 rad/s，得 T8 s.t4 s 时，x0，说明质点在平衡位
8、置，此时质点的速度最大，位移为 0，所以只有 C 项正确.2.下列说法正确的是()A.一弹簧连接一物体沿水平方向做简谐运动，则该物体做的是匀变速直线运动B.若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4 倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的12，则单摆振动的频率将不变，振幅变小C.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，速度一定相同D.单摆在周期性的外力作用下做简谐运动，则外力的频率越大，单摆的振幅越大B【解析】物体做简谐运动时，加速度随着位移变化，不是匀变速运动，A 错；单摆的频率与摆球质量无关，而根据机械能守恒，振幅会变小，B 对；做简谐运动的物体，经过同一位置时，速度大小相同，方向不一定
9、相同，C 错；物体做受迫振动，当外力频率等于固有频率时，振幅最大，D 错.3.如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法正确的是()A.甲、乙两单摆的摆长相等B.甲摆的振幅比乙摆大C.甲摆的机械能比乙摆大D.在 t0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆E.由图象可以求出当地的重力加速度ABD【解析】由振动图象可知，两单摆的周期相同，根据 T2Lg可知甲、乙两单摆的摆长相等，选项A 正确；由图可知，甲的振幅 10 cm，乙的振幅 7 cm，甲摆的振幅比乙摆大，选项 B 正确；由于两球的质量不确定，所以两球的机械能无法比较，选项 C 错误；在 t0.5 s 时，乙摆有最大的负向位移，所以
10、乙摆有正向最大加速度，甲摆的位移为零，所以加速度为零，选项 D 正确；由图象能读出周期，根据 T2Lg，因为不知道摆长，所以无法得到当地的重力加速度，选项 E 错误.一、选择题：13 题为单选，47 题为多选.1.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量.当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中()A.甲的振幅大于乙的振幅B.甲的振幅小于乙的振幅C.甲的最大速度小于乙的最大速度D.甲的最大速度大于乙的最大速度C【解析】细线剪断前，两根弹簧上的弹力大小相同，伸长量相同，剪断后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都
11、在弹簧原长位置，最远点都在剪断前的位置，所以它们的振幅相等，选项 A、B 错误；两物块做简谐运动时，对应的弹簧振子的动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线剪断前，两弹簧各自的弹性势能就是细线剪断后弹簧振子的机械能，所以振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的势能为零，动能或速度都达到最大，因为甲的质量大于乙的质量，所以甲的最大速度小于乙的最大速度，选项 C 正确，D 错误.2.在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题，在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是(
12、)A.加大飞机的惯性B.使机体更加平衡C.使机翼更加牢固D.改变机翼的固有频率【解析】飞机飞上天后，在气流周期性驱动力作用下做受迫振动，机翼越抖越厉害说明气流驱动力周期与机翼的固有周期非常接近或相等.在机翼前缘处装置配重杆，目的是通过改变机翼的质量来改变其固有频率，使驱动力频率与固有频率相差较大，从而达到减振的目的，故本题正确答案为 D.D3.如图所示，单摆甲放在空气中，周期为 T 甲，单摆乙带正电，放在匀强电场中，周期为 T 乙，单摆丙放在固定在水平面上的光滑斜面上，周期为 T丙，那么()A.T 甲T 乙T 丙 B.T 甲T 乙T 丙T 甲D.T 丙T 甲T 乙D【解析】根据“等效重力”的方
13、法，对乙有：F 乙mgEqmg，即 T 乙2LgEqm.对 丙 有：F丙 mgsin mg，即 T丙 2Lgsin.由此可知 D 正确.4.关于水平弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的是()A.振动能量等于在平衡位置时振子的动能B.振动能量等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和C.振动能量保持不变D.振动能量做周期性变化【解析】振动能量是振动系统的动能和势能的总和，选项 B 对；在平衡位置，弹性势能为零，所以振动能量等于振子的动能，选项 A 对；虽然振动能量中动能和势能不断相互转化，但是总和保持不变，所以选项 C 对、D 错.ABC5.如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正
14、确的是()A.若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线表示月球上单摆的共振曲线B.若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比 l1l2254C.图线若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1 mD.若摆长均为 1 m，则图线是在地球上完成的ABC【解析】图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率 f10.2 Hz，f20.5 Hz，根据单摆周期公式可得 f1T 12gl.当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g 越大，f 越大，所以 g2g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线表示月球上单摆的共振曲线
15、，选项 A 正确.若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则 g 相同，两次摆长之比 l1l21f211f22254，所以选项 B 正确.图线若是在地球上完成的，将 g9.8 m/s2 和 f20.5 Hz 代入频率的计算公式可解得 l21 m，所以选项 C 正确、D 错误.6.一个质点做简谐运动的位移时间图象如图所示，下列说法正确的是()A.质点振动频率为 4 HzB.在 10 s 内质点经过的路程是 20 cmC.在 5 s 末，质点速度为零，加速度最大D.在 t1.5 s 和 t4.5 s 两时刻质点位移大小相等【解析】由振动图象，可直接得到周期 T4 s，振动频率 f1T0.25 Hz，
16、故 A 错误.一个周期内，做简谐运动的质点经过的路程是 4A8 cm，10 s 为 2.5个周期，质点经过的路程是 20 cm，B 正确.在 5 s 末，质点位移最大为 2 cm，此时加速度最大，速度为零，C 正确.由图象知，在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质点位移相等，故 D 正确.BCD7.一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力 F 随时间 t 变化的图象为正弦曲线，如图所示，下列说法错误的是()A.在 t 从 0 到 2 s 时间内，弹簧振子做加速运动B.在 t13 s 和 t25 s 时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反C.在 t25 s 和 t37 s 时，弹簧振子的位移大小相
17、等，方向相同D.在 t 从 0 到 4 s 时间内，t2 s 时刻弹簧振子所受回复力做功的功率最大ABD【解析】在 t 从 0 到 2 s 时间内，弹簧振子所受的回复力增大，说明位移在增大，振子做减速运动，A 错；从图中可以看出，在 t13 s 和 t25 s 时，振子所受的回复力大小相等，方向相反，可知振子的速度大小相等，方向相同，B 错；从图中可以看出，在 t25 s 和t37 s 时，回复力大小相等，方向相同，则有弹簧振子的位移大小相等，方向相同，C 正确；从图中可以看出，t2 s 时刻弹簧振子速度为 0，所受的回复力做功的功率为零，D 错.二、填空题8.如图所示，质量为 m 的物块放在
18、水平木板上，木板与竖直弹簧相连，弹簧另一端固定在水平面上，今使 m 随 M 一起做简谐运动，且始终不分离，则物块 m 做简谐运动的回复力是由 提供的，当振动速度达最大时，m 对 M 的压力为 .【解析】对 m 受力分析可知受重力和 M 对 m 的弹力，其合力提供回复力；当速度最大时，加速度为零，即重力和弹力的合力为零，所以 m 对 M 的压力为 mg.重力和 M 对 m 的支持力的合力mg三、计算题9.某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为 3 cm 左右，外形不规则的大理石块代替小球.实验步骤是：A.石块用细尼龙线系好，结点为 M，将尼龙线的上端固
19、定于 O 点B.用刻度尺测量 OM 间尼龙线的长度 L 作为摆长C.将石块拉开一个大约 30的角度，然后由静止释放D.从摆球摆到最高点时开始计时，测出 30 次全振动的总时间 t，由 T t30得出周期E.改变 OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的 L 和 TF.求出多次实验中测得的 L和T的平均值作计算时使用的数据，代入公式 g4 2LT2，求出重力加速度 g.(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？(2)该同学用 OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何种方法可以解决摆长无法准确测量的困难？【解析】(
20、1)实验步骤中有重大错误的是：B：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长；C：最大偏角不能超过 10；D：应在摆球经过平衡位置时计时；F：应该用各组的 L、T 求出各组的 g 后，再取平均值(2)用 OM 作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点 M 到石块重心的距离，故摆长 L 偏小.根据 T2Lg，g42LT2.故测量值比真实值偏小.可以用改变摆长的方法.如 T2L1g，T2L1lg，测出l.则 g 42lT2T2.10.如图所示，将质量 mA100 g 的平台A 连接在劲度系数 k200 N/m 的弹簧上端，形成竖直方向的弹簧振子，在 A 的上方放置mBmA 的物块 B，使 A、B
21、一起上下振动.若弹簧原长为 5 cm，g 取 10 m/s2.求：(1)当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面 C的高度；(2)当振幅为 0.5 cm 时，B 对 A 的最大压力；(3)为使 B 在振动中始终与 A 接触，振幅不得超过多少？【解析】(1)将 A 与 B 整体作为振子，当 A、B 处于平衡位置时，根据平衡条件得 kx0(mAmB)g 解得弹簧形变量 x0mAmBkg0.10.120010 m0.01 m1 cm 平衡位置距地面高度 hl0 x0(51)cm4 cm(2)已知 A、B 一起振动的振幅 A10.5 cm，当 A、B 振动到最低点位置时，加速度最大，其值为 amkA1m
22、AmB2000.0050.10.1 m/s25 m/s2方向竖直向上.取 B 物块为研究对象，B 受重力 mBg、A 对 B 的支持力 FN，其合外力为 FFNmBg，根据牛顿第二定律得 FNmBgmBam 解得 FNmBgmBammB(gam)0.1(105)N1.5 N 根据牛顿第三定律，B 对 A 的最大压力大小为 FNFN1.5 N.(3)取 B 为研究对象，当 B 振动到最高点时受重力mBg 和 A 对 B 的支持力 FN1，其合力为 B 的回复力 即 F 回mBgFN1.根据牛顿第二定律得 mBgFN1mBa 当 FN10 时，B 振动的加速度达到最大值，其最大值为 amg10 m/s2 取 A 与 B 整体为研究对象，受到的最大回复力为 F 回 mkA(mAmB)am 则振动系统的振幅为 AmAmBkam0.10.120010 m0.01 m1 cm 当振幅 A1 cm 时，B 与 A 将分离，为使 B 在振动中始终与 A 接触，振动系统的振幅 A1 cm.
