1、2.1.1合情推理基本练习夯基一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.BCD答案A解析观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2在数列an中，a10，an12an2，则猜想an()A2n2 B2n2C2n11D2n14答案B解析a10212，a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想an2n2.故应选B.3平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列an，则下列结论正确的是()a515；数列an是一个等差数列；数列an是一个等比数列；数列an的递
2、推关系是anan1n(nN*)ABCD答案D解析由于a11，a23，a36，a410，所以有a2a12，a3a23，a4a34.因此必有a5a45，即a515，故正确同时正确，而an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选D.4用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2答案C解析从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.5图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠
3、的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含_个互不重叠的单位正方形()An22n1B2n22n1C2n22D2n2n1答案B解析观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有1222个正方形；图(3)共有2232个正方形；图(4)共有3242个正方形；则第n个图中共有(n1)2n2，即2n22n1个正方形6(2015隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为()答案A解析1和5的位置相同，图中排序每四个一组循环，而2013除以4的余数为1，2013的位置和1的位置相同，2014的位置和2的位置相同，2015的位置和3的位置
4、相同，故选A.点评位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，201445032，因此2014的箭头方向应与2的相同二、填空题7观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*,12223242(1)n1n2_.答案(1)n1解析注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123n，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1)n1.8(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(3
5、1)(32)(33)23135；照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n1到nn，等式右端是2n与等差数列2n1前n项的乘积，故第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)9观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为_答案S4(n1)(n2)解析每条边上有2个圆圈时共有S4个；每条边上有3个圆圈时，共有S8个；每条边上有4个圆圈时，共有S12个可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S4(n1)(n2)三、解答题10证明下列等式，
6、并从中归纳出一个一般性的结论2cos，2cos，2cos，证明2cos2，2cos22，2cos22观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos 拓展应用提能一、选择题11(2015锦州一中高二期中)根据给出的数塔猜测12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113答案B分析根据已知的式子归纳出规律：第n个等式是从1到n的自然数构成的n位数与9相乘加上
7、n1的结果是(n1)个1，即可求出结论解析由题意得，19211,1293111,123941111,12349511111,1234596111111，可得n位数与9相乘加上n1的结果是(n1)个1，123456971111111，故选B.12观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)答案D解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的
8、考查13把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A27B28C29D30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1234n个，第七个三角形数为28.14(2015隆化县存瑞中学高二期中)观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1()A.BC.D答案C解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12、22、32、(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1，所以当n2013时不等式为：1.二、填空题15
9、下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有_个原子，有_个化学键答案4n2,5n1解析第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,64,642，故第n个图形有原子64(n1)4n2个第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、65、652、第n个图形化学键个数为65(n1)5n1.16在ABC中，不等式成立，在四边形ABCD中，不等式成立，在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，有不等式_成立答案(n3)解析根据已知特殊的数值：、，总结归纳出一般性的规律：(n3)在n边形A1A2An中：(n3)三、解答题17(20
10、13西宁质检)已知等式sin210cos240sin10cos40，sin26cos236sin6cos36.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性解析等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2sin(cos30cossin30sin)sin2sin2sin2sin2(cos2sin2)sin2sin2sin2cos2sin2sin2sin2sin2(12sin2).18在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式解析b1，b2.b3，归纳得bn.