1、考点规范练44排列与组合一、基础巩固1.把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为15号的箱子中,每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中,则所有的放法种数为()A.11B.10C.12D.8答案:C解析:依题意,满足题意的放法种数为A22A33=12.2.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案:A解析:先排第一列,有A33种方法,再排第二列,有2种方法,故共有A332=12种排列方法.3.某社区安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两
2、位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种答案:C解析:当A照顾老人乙时,共有C41C42C22=24种不同方法;当A不照顾老人乙时,共有C42C31C22=18种不同方法.故安排方法有24+18=42种.4.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个答案:C解析:题设中要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C31=3种方法,即1231,1232,123
3、3,而每一种选择有A22C32=6种排法,所以共有36=18种不同情况,即这样的四位数共有18个.5.甲、乙等5人排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A.12种B.24种C.48种D.120种答案:B解析:先把甲、乙两人捆绑在一起有A22种方法,再把其他三人排列有A33种方法,最后把甲、乙看成一人放入其他三人的中间两空档处有2种方法,故共有2A22A33=24种排法.6.已知6人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案:B解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端
4、排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A55+C41A44=120+96=216.7.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有()A.900种B.600种C.300种D.150种答案:B解析:依题意,就甲是否去支教进行分类计数:第一类,甲去支教,则乙不去支教,且丙去支教,则满足题意的选派方案有C52A44=240(种);第二类,甲不去支教,且丙也不去支教,则满足题意的选派方案有A64=360(种),因此,满足题意的选派方案共有240+360=600(种),选B.8.某航空母舰将进行一次编队
5、配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为()A.72B.324C.648D.1 296答案:D解析:核潜艇排列数为A22,6艘舰艇任意排列的排列数为A66,同侧均是同种舰艇的排列数为A33A332,则舰艇分配方案的方法数为A22(A66-A33A332)=1296.9.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种.(用数字作答)答案:36解析:不同的分配方案可分为以下两种情况:甲、乙两人在一个路口,其余三人分配在另外的两个路口,其不同的分配方案有C3
6、2A33=18(种);甲、乙所在路口分配三人,另外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有C31A33=18(种).由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18+18=36(种).10.(2020全国,理14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案:36解析:由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有C42A33=36(种).11.若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有种.(用数字作答)答案:66解析:共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全
7、为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法共有C54+C44+C52C42=66种.二、能力提升12.(多选题)组合数Cnr(nr1,n,rN)恒等于()A.r+1n+1Cn-1r-1B.n(n-1)r(r-1)Cn-2r-2C.nrCn-1r-1D.nrCn-1r-1答案:BD解析:n(n-1)r(r-1)Cn-2r-2=n(n-1)r(r-1)(n-2)!(n-2)-(r-2)!(r-2)!=n!r!(n-r)!=Cnr,B对;nrCn-1r-1=nr(n-1)!(r-1)!(n-r)!=n!r!(n-r)!=Cnr,D对,A错,C错.13.某日5名同学去食堂就餐,有米饭,花卷
8、,包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用,甲同学因肠胃不好不能吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为()A.96B.120C.132D.240答案:C解析:分类讨论:(1)甲选花卷,则有2人选同一种主食,方法有C42C31=18种,剩下2人选其余主食,方法有A22=2种,共有方法182=36种;(2)甲不选花卷,其余4人中1人选花卷,方法为4种,甲选包子或面条,方法为2种,其余3人,若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法为3A22=6种;若没有人选甲选的主食,方法为C32A22=6种,共有42(6+6)=96种,故共有36+96=1
9、32种,故选C.14.将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法种数为()A.22B.25C.20D.48答案:C解析:将7个相同的球放入4个不同的盒子,即把7个球分成4组.因为要求每个盒子都有球,所以每个盒子至少放1个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同的插入方法共有C63=20种,所以每个盒子都有球的放法共有20种.15.某小区一号楼共有7层,每层只有1家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递,则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种.答案:12解析
10、:分三类:同一天2家有快递:可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层,共3种情况;同一天3家有快递:考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中,有C53种插入法,但需减去1层、3层与7层有快递,1层、5层与7层有快递这两种情况,所以有C53-2=8种情况;同一天4家有快递:只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况.根据分类加法计数原理可知,同一天7家住户有无快递的可能情况共有3+8+1=12种.三、高考预测16.三对夫妻站成一排照相,则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A.72B.144C.240D.288答案:D解析:第一步,先选一对夫妻使之相邻,捆绑在一起看作一个复合元素A,有C31A22=6种排法;第二步,再选一对夫妻,从剩下的那对夫妻中选择一人插入到刚选的夫妻中,把这三人捆绑在一起看作另一个复合元素B,有C21A22C21=8种排法;第三步,将复合元素A,B和剩下的那对夫妻中剩下的那一人进行全排列,有A33=6种排法,由分步乘法计数原理,知三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的排法有686=288(种),故选D.