1、参 考 答 案 第 页 共 页 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试数学模拟测试参考答案本 题 考 查 集 合 的 运 算 因 为 所 以 所 以 因 为 所 以 所 以本 题 考 查 复 数 的 运 算 及 几 何 意 义 由 所 以 复 数 在 复 平 面 内 对应 点 的 坐 标 为 所 以 在 复 平 面 内 的 对 应 点 位 于 第 一 象 限 本 题 考 查 指 数 对 数 的 大 小 比 较 因 为 所 以 本 题 考 查 三 角 恒 等 变 换 则 本 题 考 查 向 量 的 数 量 积 因 为 所 以 所 以 所 以 本 题 考 查 中 国 传 统 文
2、 化 与 古 典 概 型 设 事 件 从 八 音 中 任 取 两 音 含 有 打 击 乐 器 所 以 本 题 考 查 函 数 的 图 象 与 性 质 因 为 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 所 以 函 数 图 象 不 关 于 轴 对 称 排 除 选 项当 时 函 数 值 故 排 除 选 项 本 题 考 查 空 间 中 的 线 面 关 系 若 可 能 为 异 面 关 系 故 选 项 不 正 确 若 可 能 为 平 行 相 交 或 异 面 关 系 故 选 项 不 正 确 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 若 则 故 选 项 正 确 若 由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 知 当 时
3、故 选 项 不 正 确 本 题 考 查 解 三 角 形 由 余 弦 定 理 得 化 简得 本 题 考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 由 题 意 可 得 因 为 函 数 的 最 小 正 周 期是 所 以 所 以 因 为 所 以 所 以 因 为 所 以 所 以 或 因 为 所 以 本 题 考 查 多 面 体 与 球 因 为 所 以 底 面 因 为 点 到 底 面 的 距 离 为 所 以 因 为 所 以 平 面 故 即 该 球 的 直 径 为 槡 槡 所 以 球 的 半 径为 参 考 答 案 第 页 共 页 本 题 考 查 抛 物 线 的 定 义 与 平 面 几 何 知 识 过 点 作
4、 准 线 的 垂 线 垂 足 为 与 轴 交 于 点 因 为 所 以 所 以 所 以 根 据 抛 物 线 的 定 义 知 因 为 所 以 所 以 根 据 抛 物 线 的 性 质 得 解 得 所 以 本 题 考 查 简 单 的 线 性 规 划 先 作 出 约 束 条 件 所 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 联 立解 得 当 目 标 函 数 过 点 时 取 最 大 值 所 以本 题 考 查 双 曲 线 的 性 质 等 轴 双 曲 线 过 第 一 象 限 的 渐 近 线方 程 为 因 为槡所 以 点 的 坐 标 为 本 题 考 查 独 立 事 件 的 概 率 甲 被 录 取 的 概 率
5、为 乙 被 录 取 的 概 率 为 则 该 次 考 试 甲 乙 同 时 被 录 取 的 概 率 是 只 有 一 人 被 录 取 的 概 率 是 温 馨 提 示 年 全 国 卷 出 现 了 两 空 题 年 全 国 卷 都 有 一 定 概 率 出 现 两 空 题 故 此 题 设 置两 空 本 题 考 查 函 数 与 导 数 因 为 所 以 解 得 或 不 合 题 意 舍 去 所 以 由 至 少 有 两 个零 点 所 以 至 少 有 两 根 因 为 不 是 方 程 的 根 所 以 方 程 可 化 为 记因 为 所 以 在 区 间 单 调 递 减 在 区 间 和 单 调 递 增 函 数 大 致 图 象
6、 如 图 所 以 当 时 函 数 至 少 有 个 零 点 所 以 实 数 的 取 值 范 围 是 知 识 拓 展 一 分 离 变 量 法是 通 过 将 两 个 变 量 构 成 的 不 等 式 方 程 变 形 到 不 等 号 等 号 两 端 使 两 端 变 量 各 自 相 同 解 决 有 关 不等 式 恒 成 立 不 等 式 存 在 有 解 和 方 程 有 解 中 参 数 取 值 范 围 的 一 种 方 法 可 以 避 开 对 参 数 的 分 类 讨 论 大 大参 考 答 案 第 页 共 页 提 高 解 题 的 准 确 度 二 数 形 结 合 法数 与 形 反 映 了 事 物 两 个 方 面 的
7、 属 性 我 们 认 为 数 形 结 合 主 要 指 的 是 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关系 数 形 结 合 就 是 把 抽 象 的 数 学 语 言 数 量 关 系 与 直 观 的 几 何 图 形 位 置 关 系 结 合 起 来 通 过 以 形 助 数 或以 数 解 形 即 通 过 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 的 结 合 可 以 使 复 杂 问 题 简 单 化 抽 象 问 题 具 体 化 从 而 起 到 优 化 解题 途 径 的 目 的 解 本 题 考 查 数 列 的 通 项 公 式 与 前 项 和 根 据 题 意 得 即 即 解 得 所 以 分 由 得 所 以 数 列
8、是 首 项 为 公 比 为 的 等 比 数 列 所 以 分 解 本 题 考 查 线 面 平 行 与 二 面 角 连 接 设 连 接 图 略 因 为 在 四 棱 柱 中 分 别 为 的 中 点 所 以 所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形 所 以 因 为 平面 平 面 所 以 平 面 分 以 为 原 点 所 在 直 线 分 别 为 轴 轴 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 设 因为 所 以 所 以 所 以 设 为 平 面 的 一 个 法 向 量 因 为 所 以令 所 以 因 为 平 面 的 一 个 法 向 量 为 设 二 面 角 的 平 面 角为 所 以 槡槡所 以 槡分 解 本 题
9、 考 查 独 立 性 检 验 和 分 布 列 期 望 因 为 的 观 测 值 所 以 有 的 把 握 认 为 愿 意 参 加 新 生 接 待 工 作 与 性 别 有 关 分 根 据 分 层 抽 样 方 法 得 男 生 人 女 生 人 所 以 选 取 的 人 中 男 生 有 人 女 生 有 人 的 可 能 取 值 有 参 考 答 案 第 页 共 页 的 分 布 列 是分 解 本 题 考 查 函 数 的 极 值 与 证 明 不 等 式 因 为 所 以 当 时 因 为 当时 当 时 当 时 所 以 函 数 在 和 上 单 调 递 增 在 上 单 调 递 减 所 以 当 时 函 数 有 极 大 值 当
10、 时 函 数 有极 小 值 分 由 知 当 时 函 数 在 时 取 得 极 小 值 也 即 最 小 值 所 以 化 简 可 得 令 则 所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 所 以 所 以 从 而 可 得 因 为 不 等 式 的 两 个 等 号 不 同 时 成 立 所 以 分 解 题 思 路 第 问 为 常 见 题 型 把 实 数 的 值 代 入 求 导 算 极 值 即 可 第 问 先 在 第 问 的 基 础 之 上 得出 即 再 构 造 函 数 导 出 不 等式 最 后 根 据 不 等 式 性 质 及 不 等 式 不 同 时 取 等 号 得 出 结 论 解 本 题 考 查 椭 圆 中 的
11、面 积 问 题 因 为 所 以 因 为 为 等 边 三 角 形 所 以 槡 所 以 槡 所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 分 设 的 面 积 为 当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 可 得 槡槡所 以 槡 槡分 当 直 线 的 斜 率 存 在 时 设 直 线 的 斜 率 为 则 直 线 的 方 程 为 设 联 立化 简 得 所 以 槡 槡因 为 所 以 面 积 参 考 答 案 第 页 共 页 槡 槡槡槡令 槡 则 槡槡槡由 在 定 义 域 内 单 调 递减 所 以 槡综 上 面 积 的 取 值 范 围 是 槡分 解 本 题 考 查 极 坐 标 与 参 数 方 程 由 已 知 曲 线 的 普 通 方 程 为 即 因 为 可 得 化 简 为 直 线 槡为 参 数 分 设 对 应 的 参 数 分 别 为 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 并 整 理 得 槡所 以 槡又 为 的 中 点 所 以 因 此 槡所 以 即 因 为 所 以 从 而 即 槡 分 解 本 题 考 查 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 因 为 所 以 当解 得 当 解 得 当解 得 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 分 因 为 所 以 所 以 因 为 不 等 式 有 解 所 以 即 所 以 实 数 的 取 值 范 围 是 分