1、第9讲磁场及带电粒子在磁场中的运动1.安培力：(1)计算公式：F=_，其中为B与I的夹角。当磁场与电流垂直时，=90，F=_。当磁场与电流平行时，=0，F=_。(2)方向判定：用_。BILsinBIL0左手定则2.洛伦兹力：(1)计算公式：f=_，其中为B与v的夹角。vB时，f=_。vB时，f=_。v=0时，f=_。(2)方向判定：用_，注意“四指”指向_，与_的运动方向相反。qvBsin0qvB0左手定则正电荷的运动方向负电荷1.(双选)(2013广东高考)如图，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力。下列说法正确的有()Aa、b均带正
2、电Ba在磁场中飞行的时间比b的短Ca在磁场中飞行的路程比b的短Da在P上的落点与O点的距离比b的近【解析】选A、D。要使离子打在屏上，由左手定则，可判出a、b均带正电，A正确；由牛顿第二定律得离子运动轨迹如图所示，又知a比b飞行时间长，a比b飞行路程长，B、C错误；又a、b在P上落点距O点的距离分别为2rcos、2r，故D正确。2.(2012广东高考)质量和电量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中虚线所示,下列表述正确的是()A.M带负电,N带正电B.M的速率小于N的速率C.洛伦兹力对M、N做正功D.M的运行时间大于N的运行时间【解析】选A。由左手
3、定则可知M带负电，N带正电，故A选项正确。由由题意可知两个带电粒子的质量和电量都相等，又进入到同一个匀强磁场中，由题图可知RNRM,故vNvM，所以B选项错误。由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力永远不会对M、N做功，则C选项错误。由及题给条件可知，这两个带电粒子在磁场中运动的周期相等，又由题图可知两个带电粒子在磁场中的偏转角相等，均偏转了180，故在磁场中运动的时间相等，所以D选项错误。3.(2012广东高考)如图所示,质量为M的导体棒ab,垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上,导轨平面与水平面的夹角为,并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,左侧
4、是水平放置、间距为d的平行金属板。R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值,不计其他电阻。(1)调节Rx=R,释放导体棒,当棒沿导轨匀速下滑时,求通过棒的电流I及棒的速率v。(2)改变Rx,待棒沿导轨再次匀速下滑后,将质量为m、带电量为+q的微粒水平射入金属板间,若它能匀速通过,求此时的Rx。【解析】(1)当Rx=R时，棒沿导轨匀速下滑时，由平衡条件Mgsin=F安培力F=BIl解得ab切割磁感线产生的感应电动势E=Blv由闭合电路欧姆定律得回路中电流解得(2)微粒水平射入金属板间，能匀速通过，由平衡条件棒沿导轨匀速下滑，由平衡条件Mgsin=BI1l金属板间电压 U=I1Rx解得答案:(1
5、)(2)热点考向 1磁场对通电导线的作用力问题【典例1】(2013南通二模)如图所示，在竖直向下的恒定匀强磁场中有一光滑绝缘的圆轨道，一重为G的金属导体MN垂直于轨道横截面水平放置，在导体中通入电流I，使导体在安培力的作用下以恒定的速率v从A点运动到C点，设导体所在位置的轨道半径与竖直方向的夹角为，安培力的瞬时功率为P，则从A到C的过程中，下列有关说法正确的是()A.电流方向从N指向M B.IcotC.PcosD.Psin【解题探究】(1)根据导体MN的运动情况，画出MN的受力分析图。提示：如图所示：(2)MN的运动性质是_，向心力由_、_和安培力的合力提供，并且沿切线方向的合力_，用式子表示
6、为_。匀速圆周运动弹力F重力G等于零Gsin=F安cos【解析】选D。由于安培力方向始终水平向左，根据左手定则知电流方向从M指向N，A错误；因为导体棒做匀速圆周运动，所以有Gsin=F安cos=BILcos，故即Itan，B错误；又P=F安vcos=Gvsin，所以Psin，C错误，D正确。【总结提升】求解磁场中导体棒运动问题的方法(1)正确地对导体棒进行受力分析，应特别注意通电导体棒受到的安培力的方向，安培力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂直。(2)画出辅助图(如导轨斜面等)，并标明辅助方向(磁感应强度B、电流I的方向)。(3)将立体的受力分析图转化为平面受力分析图，即画出与导体棒垂直的平面
7、内的受力分析图。【变式训练】(2013晋江一模)如图所示，长为L的通电直导体棒放在光滑水平绝缘轨道上，劲度系数为k的水平轻弹簧一端固定，另一端拴在棒的中点，且与棒垂直，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，弹簧伸长x，棒处于静止状态。则()A导体棒中的电流方向从b流向aB导体棒中的电流大小为C若只将磁场方向缓慢顺时针转过一小角度，x变大D若只将磁场方向缓慢逆时针转过一小角度，x变大【解析】选B。由左手定则可知，导体棒中的电流方向从a流向b，选项A错误；由BIL=kx可得导体棒中的电流大小为选项B正确；若只将磁场方向缓慢顺时针转过一小角度，或缓慢逆时针转过一小角度，导体棒沿水平方
8、向所受安培力变小，故x都变小，选项C、D错误。【变式备选】(2012大纲版全国卷)如图，两根相互平行的长直导线过纸面上的M、N两点，且与纸面垂直，导线中通有大小相等、方向相反的电流。a、O、b在M、N的连线上，O为MN的中点，c、d位于MN的中垂线上，且a、b、c、d到O点的距离均相等。关于以上几点处的磁场，下列说法正确的是()A.O点处的磁感应强度为零B.a、b两点处的磁感应强度大小相等，方向相反C.c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同D.a、c两点处磁感应强度的方向不同【解析】选C。根据安培定则，M、N处的电流在O点处的磁感应强度方向相同，都垂直MN连线向下，O点处的磁感应强度不为零
9、，选项A错误；由对称关系可知，a、b两点处的磁感应强度大小相等，磁感应强度方向都垂直MN连线向下，方向相同，选项B错误；c、d两点处的磁感应强度方向都垂直MN连线向下，方向相同，大小相等，选项C正确；a、c两点处的磁感应强度方向都垂直MN连线向下，选项D错误。热点考向 2带电粒子在磁场中的运动【典例2】(18分)(2013延安一模)如图所示，在x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1大于B2，一个带负电、比荷为k的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，粒子重力不计。(1)求粒子在两个磁场中运动的轨道半径；(2)如果B1=2B2，则粒子再次回
10、到原点时运动了多长时间？(3)要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？【解题探究】(1)粒子在两磁场中运动的轨道半径的求解：比荷的意义：k=；轨道半径公式：r=。(2)试画出B1=2B2时，带电粒子再次回到原点时的轨迹图。提示：由于B1=2B2，则由左手定则画出轨迹如图所示。(3)当B1B2,但B12B2时,粒子完成如图所示的一次回旋到达y轴上的O1点,则点O、O1间的距离d=_;若完成n次回旋到达On点则OOn=_。粒子到达On后,若要再经过半个圆周回到O点,OOn应满足什么条件?提示:应满足OOn=2r1,即2n(r2-r1)=2r1。2(r2-r1)nd=2n
11、(r2-r1)【解析】(1)粒子交替地在xOy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动；速度大小恒为v,轨迹都是半个圆,圆周运动半径分别为(1分)(1分)(2)当B1=2B2时,r2=2r1(1分)那么粒子在左边运动一个半径为r1半圆后,再到右边经历一个半径为r2的半圆,又回到左边再经历一个半径为r1的半圆,此时正好回到原点,这个过程中经历的时间为(2分)(2分)所以 (1分)(3)粒子运动轨迹如图所示,在xOy平面内,粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上到O点距离为2r1的A点,接着沿半径为r2(r2r1)的半圆D1运动至y轴上的O1点,则O1与O的距离为:d=2(r2-r1)(3分)此
12、后粒子每经历一次回旋,其y轴坐标就减小d,设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点,若OOn即nd满足nd=2r1(3分)则粒子再经过半圆就能通过原点,由得 (2分)即 (2分)答案：(1)(2)(3)(n=1，2，3)【总结提升】带电粒子在磁场中运动问题分析的“三步走”(1)画轨迹：也就是确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹。(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，分析粒子的运动半径常用的方法有物理方法和几何方法两种。物理方法也就是应用公式确定；几何方法一般根据数学知识(直角三角形知识、三角函数等)通过计算确定。速度偏转角与回旋角(转过的圆心角)、运动时间t相联系。如图所示，粒子的速
13、度偏向角等于回旋角，等于弦切角的2倍，且有=2=t=或(其中s为运动的圆弧长度)。(3)用规律：应用牛顿运动定律和圆周运动的规律关系式，特别是周期公式和半径公式，列方程求解。【变式训练】(双选)(2013佛山二模)两个质量、带电量绝对值均相同的粒子a、b，以不同的速率沿AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图。不计粒子重力，则下列说法正确的是()A.a粒子带正电B.b粒子带正电C.a粒子速度较小D.b粒子在磁场中运动时间较长【解析】选B、C。由a、b两粒子的偏转方向，利用左手定则判断知a粒子带负电，b粒子带正电，A错，B对；由题图知rbra，因故vbva，C对；因Ta=Tb，且a粒子轨迹对
14、应的圆心角大于b粒子轨迹对应的圆心角，所以tatb，D错。热点考向 3带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题【典例3】(双选)(2013黄冈一模)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，以速度从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入，然后从BC边上某点Q射出。若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则()【解题探究】(1)粒子在该磁场中的轨迹半径如何求，比AB边长还是短？提示：由代入v得(2)如何求解满足题干条件的PB与QB的最大值？提示：保
15、证不从AC边射出，能从BC边射出即为题目的要求，当轨迹圆既与AC相切，又与BC相切时，可求PB的最大值，当轨迹圆为圆弧时，可求出QB的最大值。【解析】选A、D。带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心必在AB之上，画出运动轨迹如图所示，由半径公式及可知，粒子做圆周运动的半径为当粒子运动的轨迹圆心位于AB中点O1时，粒子正好与AC、BC边相切，由几何关系知，PB满足A正确；平行向右移动参考圆O1，与CB交点最远时的Q点到AB的距离为半径r，所以QB D正确。【总结提升】解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题时应该注意以下两点：(1)三种几何关系：刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相
16、切。当粒子的运动速率v一定时，粒子经过的弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。当粒子的运动速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹对应的圆心角越大，其在磁场中的运动时间越长。(2)利用动态圆画临界轨迹的方法：如图所示，v的方向不变，当v的大小变化时，某一圆可与右边界相切即为临界轨迹。如图所示，v的大小不变，当v的方向变化时，可以找出动态圆的圆心轨迹。【变式训练】(双选)(2013衡水二模)如图所示，带有正电荷的A粒子和B粒子同时从匀强磁场的边界上的P点以等大的速度，以与边界成30和60的夹角射入磁场，又恰好不从另一边界飞出，设边界上方的磁场范围足够大，下列说
17、法中正确的是()A.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为C.A、B两粒子的之比为D.A、B两粒子的之比为【解析】选B、D。画出两粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示，设磁场宽度为L，根据几何关系有，rAcos30+rA=L，rBcos60+rB=L，解得所以选项A错误，B正确；由可得A、B两粒子的之比为选项C错误，D正确。1.(2013广州二模)圆形区域内有如图所示的匀强磁场，一束相同荷质比的带电粒子对准圆心O射入，分别从a、b两点射出，则从b点射出的粒子()A.带正电B.运动半径较小C.速率较小D.在磁场中的运动时间较长【解析】选A。由左手定则
18、判断，从b点射出的粒子带正电，A对；可画出轨迹图判断出rarb，B错；由知，在B、相同时，vatb，D错。2.(2013海淀一模)有两根长直导线a、b互相平行放置，如图所示为垂直于导线的截面图。在如图所示的平面内，O点为两根导线连线的中点，M、N为两导线附近的两点，它们在两导线连线的中垂线上，且与O点的距离相等。若两导线中通有大小相等、方向相同的恒定电流I，则关于线段MN上各点的磁感应强度，下列说法中正确的是()A.M点和N点的磁感应强度大小相等，方向相同B.M点和N点的磁感应强度大小相等，方向相反C.在线段MN上各点的磁感应强度都不可能为零D.在线段MN上有两点的磁感应强度为零【解析】选B。
19、根据安培定则和磁场的叠加原理，M点和N点的磁感应强度大小相等，方向相反，选项A错，B对；在线段MN上只有在O点处，a、b两电流形成的磁场的磁感应强度等大反向，即只有O点处的磁感应强度为零，选项C、D错。3.(2013大理二模)质量为m、长为L的直导体棒放置于四分之一光滑圆弧轨道上，整个装置处于竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中，直导体棒中通有恒定电流，平衡时导体棒与圆弧圆心的连线与竖直方向成60角，其截面图如图所示。则下列关于导体棒中的电流的分析，正确的是()A导体棒中电流垂直纸面向外，大小为B导体棒中电流垂直纸面向外，大小为C导体棒中电流垂直纸面向里，大小为D导体棒中电流垂直纸面向里，大小为
20、【解析】选C。根据左手定则可知，不管电流方向向里还是向外，安培力的方向只能沿水平方向，再结合导体棒的平衡条件可知，安培力只能水平向右，据此可判断出，导体棒中电流垂直纸面向里。对导体棒受力分析，并根据平衡条件可知：F安=mgtan60，又F安=BIL，联立可得只有选项C正确。4.(2013唐山一模)如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场。A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1。平行金属板右侧有一挡板M，中间有小孔O，OO是平行于两金属板的中心线。挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B2。CD为磁场B2边界上的一绝缘板，
21、它与M板的夹角=45，OC=a，现有大量质量均为m，含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子(不计重力)，自O点沿OO方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO方向运动，并进入匀强磁场B2中，求：(1)进入匀强磁场B2的带电粒子的速度；(2)能击中绝缘板CD的粒子中，所带电荷量的最大值；(3)绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度。【解析】(1)设沿直线OO运动的带电粒子进入匀强磁场B2的速度为v根据qvB1=qE解得：(2)粒子进入匀强磁场B2中做匀速圆周运动，根据解得：因此，电荷量最大的带电粒子运动的轨道半径最小。设最小半径为r1，此带电粒子运动轨迹与CD板相切，则有：解得：电荷量最大值(3)
22、带负电的粒子在磁场B2中向上偏转，某带负电粒子轨迹与CD相切，设半径为r2，依题意解得：则CD板上被带电粒子击中区域的长度为x=r2-r1=2a。答案：(1)(2)(3)2a七利用几何关系分析带电粒子的运动【案例剖析】(18分)如图所示，圆心在坐标原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域。在圆内区域(rR)和圆外区域(rR)分别存在两个磁场方向均垂直于xOy平面的匀强磁场(图中未画出)；垂直于xOy平面放置了两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于x轴放置在y轴坐标为-2.2R的位置，荧光屏乙平行于y轴放置在x轴坐标为3.5R的位置。现有一束质量为m、电荷量为q(q0)、动能为E0的粒子从坐标为(
23、-R，0)的A点沿x轴正方向射入区域，最终打在荧光屏甲上，出现坐标为(0.4R,-2.2R)的亮点N。若撤去圆外磁场，粒子打在荧光屏甲上，出现坐标为(0，-2.2R)的亮点M。此时，若将荧光屏甲沿y轴负方向平移，则亮点x轴坐标始终保持不变。(不计粒子重力影响)(1)求区域和中磁感应强度B1、B2的大小和方向。(2)若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从A点沿x轴正方向射入区域的粒子束改为质量为m、电荷量为-q、动能为3E0的粒子，求荧光屏上的亮点的位置。【审题】抓住信息，准确推断关键信息信息挖掘题干在圆内区域(rR)和圆外区域(rR)分别存在两个磁场两匀强磁场的强弱、方向,需结合运动
24、情形分析从坐标为(-R,0)的A点沿x轴正方向射入区域,最终打在荧光屏甲上,出现坐标为(0.4R,-2.2R)的亮点N在两磁场中粒子所做运动的轨迹为两段圆弧,画示意图关键信息信息挖掘题干若撤去圆外磁场,粒子打在荧光屏甲上,出现坐标为(0,-2.2R)的亮点M。此时,若将荧光屏甲沿y轴负方向平移,则亮点x轴坐标始终保持不变。圆外无磁场,粒子做直线运动,又因荧光屏甲移动而M点不变,说明粒子从C点离开圆形磁场问题电荷量为-q、动能为3E0的粒子,求荧光屏上的亮点的位置电性改变,洛伦兹力的方向改变;动能增大,速度增大,则运动半径增大【破题】精准分析,无破不立(1)磁感应强度B1、B2的求解。带电粒子在
25、区域中的运动半径r1=_。带电粒子在区域中的运动半径r2与R满足的几何关系为_。(r2-0.4R)2+(2.2R-R)2=r22R试在图甲中画出带电粒子在、区域中的轨迹示意图。提示：如图所示(2)第(2)问的求解。粒子在区域中的轨迹半径r3与r1的关系式为r3=。粒子在区域中的轨迹半径r4与第(1)问中r2的关系式为r4=。请在图乙中画出第(2)问中的轨迹示意图。提示：如图所示【解题】规范步骤，水到渠成(1)由于粒子亮点在荧光屏甲上，故粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示。粒子在区域中运动了四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向进入区域的磁场。区域中圆周运动的圆心是O1点，半径为r1=R (1分)由可
26、得：(2分)方向垂直平面xOy向外。(1分)粒子进入区域后做半径为r2的圆周运动，由(1分)可得：圆周运动的圆心O2坐标为(r2,-R)则：(r2-0.4R)2+(2.2R-R)2=r22 (2分)解得：r2=2R (1分)则：(1分)方向垂直平面xOy向里。(1分)(2)粒子束改为质量为m、电荷量为-q，动能为3E0的运动轨迹如图乙所示，粒子先在区域中做圆周运动。半径为(2分)由圆心O3的坐标可知，O3A与O3O的夹角为30。通过分析图乙的几何关系，粒子从D点穿出区域的速度方向与x轴正方向的夹角为=60粒子进入区域后做圆周运动的半径为：(2分)其圆心O4的坐标为：(Rcos60+r4cos3
27、0)，-(r4sin30-Rsin60)，即 (2分)说明圆心O4恰好在荧光屏乙上。所以，亮点将出现在荧光屏乙上的P点，其y轴坐标为：(1分)即亮点P的坐标为(1分)答案：(1)方向垂直平面xOy向外方向垂直平面xOy向里(2)【点题】突破瓶颈，稳拿满分(1)常见的思维障碍：第(1)问中，不能分析出粒子从C点射出区域也就不能判断出r1=R这个结论。第(1)问中，不能正确画出两段圆弧的几何图形，也就不能求出r2的大小。第(2)问中，因粒子的速度变化，电性变化，增加了确定r3、r4的难度，不能画出相关图形，也就不能求解。(2)因解答不规范导致的失分:求B1或B2时,最后结果要用E0表示,不能用v表示,如B1=,这不是最后结果,从而失分。第(2)问中,在表示P点坐标时,不能只求出y值,要用坐标的规范形式表示,即(x,y)。
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