1、完全平方数定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数 性质： 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。性质7：平方差公式：a
2、2b2(ab)(ab)。性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2。判别方法：两个连续自然数的乘积不是完全平方数。两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。例1已知123n3是一个自然数的平方，求n的值？例2一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是( )。例3从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以7
3、2后是完全平方数？例4能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例5写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。例6试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同例7将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？测试题1一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？2一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。3一间屋子里有编号为1100的100盏灯，全都是亮的，有编号为1100的100名
4、同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第二名同学拉了所有号码是2的倍数的灯，第3名同学拉了所有号码是3的倍数的灯第100名同学拉了所有号码是100的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？4求满足下列条件的所有自然数：它是四位数。被22除余数为5。它是完全平方数。5求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方6甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元答案1【分析】设加上100后为，加上168后为，那么，即。因为与的奇偶性相
5、同，所以只可能是，解得，因此原数是。2【分析】BA20， BA(AB)(BA)20，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，所以只能拆成210，这样AB10，BA2，所以A4，B6，所以这个数为A210B21026。3【分析】要考虑灯是亮的还是灭的，关键看灯被拉了奇数次还是偶数次，因为原来都亮，要我们求灭的灯的个数，那么也就是求那些被拉了奇数次的灯有几个注意拉灯的规则我们不难发现，每盏灯被拉的次数恰好是它的约数的个数又因为约数个数是奇数等价于该数是完全平方数，因为1100中的完全平方数有10个。因此最后有10盏灯是灭的。4【分析】设，其中n，N 为自然数，可知N为奇数。11|N4或1
6、1|N4或k1k2k3k4k5所以此自然数为1369，2601，3481，5329，6561，9025。5【分析】设四个连续的整数为，其中n 为整数。欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。证明 设这四个整数之积加上1为m，则m为平方数而n(n1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n1是奇数，因而n(n1)2n1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。6【分析】n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10 元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6 元，从而为平均分配，甲应补给乙2 元。
