1、3.1 系数的扩充知识梳理1.复数的概念我们把集合C=a+bi,a,bR 中的数，即形如a+bi(a,bR)的数叫做_，其中i叫做_.全体复数形成的集合C叫做_.2.复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,bR).这一表示叫做复数的_，对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,bR，其中的a与b分别叫做复数z的_和_.3.复数相等在复数集C=a+bi|a,bR 中任取两个数a+bi,c+di(a、b、c、dR)，我们规定：a+bi与c+di相等的充要条件是_且_.4.复数的分类对于复数a+bi,当且仅当b=0时，它是_；当且仅当a=b=0时，它是_；当b0时，叫做_；当a
2、=0且b0时，叫做_.知识导学 讲解本节前可先回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程，这不仅为实数的扩充提供了类比对象，而且也为怎样扩充提供了方向.疑难突破1.数系的扩充 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.首先要明确复数的扩充同其他数集的扩充一样也是因为需要而进行的，如为解决x2+1=0这样的方程在实数集内无解的问题.设想引入一个新数i，设i是方程x2+1=0的根，即ii=-1.而且新引入的数i，要能像实数系那样进行加法、乘法运算，并希望运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立，就设想依此把实数和i进行运算，从而得到把实数集扩充后的新数集应该是a+bi|a,bR ，这就是复数集.2.复数的分
3、类 全体复数所构成的集合C叫做复数集. 实数集R是复数集C的真子集即RC.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系为如图3-1-1所示.图3-1-1典题精讲【例1】 实数k为何值时，复数（1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.思路分析：本题主要考查复数的概念.因此要先整理成a+bi的形式.根据复数a+bi是实数、虚数、纯虚数、零的条件可以分别确定k的值.解:由Z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i（1）当k2-5k-6=0时，ZR,即k=6或k=-1;（2）当k2-5k-60时，
4、Z是虚数，即k6且k-1;(3)当时，Z是纯虚数，解得k=4.（4）当时Z=0，解得k=-1.故当k=6或k=-1时，ZR；当k6且k-1时，Z是虚数；当k=4时，Z是纯虚数；当k=-1时，Z=0.绿色通道：复数Z=a+bi,a,bR是复数的定义，由a、b的取值确定实数、虚数和纯虚数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.【变式训练】 复数Z=+(m2-2m-15)i，求实数m,使得：(1)Z是实数；（2）Z是纯虚数.思路分析：当Z为实数时，虚部为零；当Z为纯虚数时，实部为零，虚部不为零.解：(1)即m=5;(2)解之m=-2或m=3【例2】 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i
5、，求实数x,y的值.思路分析：本题考查复数相等的概念，即实部与虚部分别对应相等，由此得到方程组，解出x与y的值.解：x,y是实数，2x-1,y+1,x-y,-x-y为实数.由复数相等的定义知绿色通道：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.【变式训练】 已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，求纯虚数m的值.思路分析：设出纯虚数m，再利用复数相等的知识.解：设m=bi;则有x2+(1+2i)x-(3bi-1)i=0即解之得m=.问题探究问题：两个复数能否比较大小？导思：我们知道，当两个复数全是实数时，当然可以比较大小，当不全是实
6、数时能否比较大小呢？可思考两个实数的大小关系的性质，假设两个复数能比较大小？会出现什么矛盾呢？探究：如果两个复数不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.我们知道，实数之间的“”（小于）关系，具有以下性质：（1）任意两实数a,b以下三种关系有且仅有一种成立：（2）若ab,bc,则ac;（3）若ab,则对任意实数c,有a+cb+c;（4）若ab,c0则acbc.如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质.但是，在复数之间上述性质是不存在的.事实上，假定复数之间存在一个“小于”关系，具有性质（1）（4）.我们来看0与i这两个数的大小关系.由性质（1）知：或者0i或者i0,但这两种情形都会引出矛盾.