1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x31”是真命题B逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若m1，则函数f
2、(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题D逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真答案(1)C(2)D解析(1)z1i，所以|z|，p1为假命题；z2(1i)2(1i)22i，p2为真命题，1i，p3为假命题；p4为真命题故选C.(2)命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确
3、书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例(1)命题“若，则cos ”的逆命题是()A若，则cos B若，则cos C若cos ，则D若cos ，则(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)C(2)C解析(1)命题“若，则cos ”的逆命题是“若cos ，则”(2)由于“x，
4、y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点Bp：1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案D解析对于A，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件
5、；对于B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否
6、定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件(1)(2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0(2)设集合AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案(1)D(2)C解析(1)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.(2)因为Ax|x20x|x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)即ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 题型三
7、充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0aC.a1(2)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0 D(，0)思维启迪(1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系答案(1)A(2)A解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系a
8、|a1，答案选A.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0a.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_(2)已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为_答案(1)
9、1(2)解析(1)由x21，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.(2)由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1my，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A解析对于A，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于B，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，
10、x2x20，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.3已知集合Mx|0x1，集合Nx|2x0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_答案3,0解析ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得，解得3a0，故3a0.10“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题11“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的_条件答案充分不必要解析若a(x2,1)与b(2,2x)共线，则有(x2)(2x)2，解得x，所以“x”是“向量a(
11、x2,1)与向量b(2,2x)共线”的充分不必要条件12若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或，0m2.B组专项能力提升1若集合Ax|2x3，Bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当a1时，Bx|2x1，满足AB；反之，若AB，只需a2即可，故“a1”是“AB”的充分不必要条件2 “0，即2n12对任意的nN*都成立，于是可得32，即.注意到由1可得；但反过来，由不能得到1，故“1”是“数列ann2
12、2n(nN*)是递增数列”的充分不必要条件3命题“函数yf(x)的导函数为f(x)ex(其中e为自然对数的底数，k为实数)，且f(x)在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析当k1时，f(x)ex1213，则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除A；当k时，f(x)ex2123，所以f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除B；当k1时，f(x)ex121211，则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.二、填空题4“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件答案充分不必要解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，mm，反之不
13、成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件5已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1x3，即m2.6下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件正确的是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由a2b20可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2b20，所以不正确，正确