1、1.1集合的概念与运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的关系(1)子集：对任意的xA，都有xB，则AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，则AB(或BA)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n1个(5)集合相等：若AB，且BA，则AB.3集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图
2、形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Ax|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)1,2,33,2,1()(3)0()(4)若ABAC，则BC.()(5)已知集合M1,2,3,4，N2,3，则MNN.()(6)若全集U1,0,1,2，PxZ|x24，则UP2()2(2013北京)已知集合A1,0,1，Bx|1x1，则AB等于()A0 B1,0C
3、0,1 D1,0,1答案B解析1,0B,1B，AB1,03(2013山东)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9答案C解析xy.4(2013课标全国)已知集合Mx|(x1)24，xR，N1,0,1,2,3，则MN等于()A0,1,2 B1,0,1,2C1,0,2,3 D0,1,2,3答案A解析化简集合M得Mx|1x0，集合Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_答案解析Ax|x22x30x|x1或x0，f(0)10，即所以即ay，当y1时，x可取2,3,4,5，有4个；当y2时，x可取3,4,5，有3个；当y3时，
4、x可取4,5，有2个；当y4时，x可取5，有1个故共有123410(个)，选D.(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1.所以ba2.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(1)已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，则AB的元素个数为()A0 B1 C2 D3(2)若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数a_.答案(1)C(2)0或解析(1
5、)集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线yx，据此画出图象，可得图象有两个交点，即AB的元素个数为2.(2)集合A的子集只有两个，A中只有一个元素当a0时，x符合要求当a0时，(3)24a20，a.故a0或.题型二集合间的基本关系例2(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_思维启迪对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；BA不要忽略B的情形答案(1)D(2)(，4解析(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系
6、求出集合C的个数由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则，解得2m4.综上，m的取值范围为m4.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图来直观解决这类问题(1)设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个 C4个 D3个(2)已
7、知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.答案(1)A(2)4解析(1)集合1,2,3的所有子集共有238(个)，集合2的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有826(个)(2)由log2x2，得0x4，即Ax|04，即c4.题型三集合的基本运算例3(1)(2013湖北)已知全集为R，集合A，B，则A(RB)等于()Ax|x0Bx|2x4Cx|0x4Dx|0x2或x4(2)(2012天津)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)4或x2x|0x4(2)先求出集合A，再根据集合的交集的特点求解Ax|5x1，因为ABx|1xn，Bx|(x
8、m)(x2)0，则AB()Ax|2x3 B3C2,3 Dx|1x2，ABxZ|2x33(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.题型四集合中的新定义问题例4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0144；33；Z012
9、34；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4思维启迪解答本题要充分理解k的意义，然后对选项逐一验证答案C解析因为2 01440254，又因为45n4|nZ，所以2 0144，故正确；因为35(1)2，所以32，故不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以正确；若a，b属于同一“类”，则有a5n1k，b5n2k，所以ab5(n1n2)0，反过来，如果ab0，也可以得到a，b属于同一“类”，故正确故有3个结论正确思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题
10、的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，满足XY(UX)Y，则对于任意集合X，Y，Z，X(YZ)()A(XY)(UZ)B(XY)(UZ)C(UX)(UY)ZD(UX)(UY)Z答案D解析因为XY(UX)Y，所以YZ(UY)Z，所以X(YZ)(UX)(YZ)(UX)(UY)Z，故选D.遗忘空集致误典例：(5分)若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且SP，则由a的可取值组成的集合为_易错分析从集合的关系看，S
11、P，则S或S，易遗忘S的情况规范解答解析P3,2当a0时，S，满足SP；当a0时，方程ax10的解集为x，为满足SP可使3或2，即a或a.故所求集合为.答案温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略对空集的讨论，如a0时，S；二是易忽略对字母的讨论如可以为3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进
12、行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现失误与防范1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心5要注意AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性.
13、A组专项基础训练一、选择题1(2013重庆)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)等于()A1,3,4 B3,4C3 D4答案D解析因为AB1,2,3，全集U1,2,3,4，所以U(AB)4，故选D.2下列集合中表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合选项C中的集合M表示由直线xy1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线xy1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N
14、y|xy1R，故集合M与N不是同一个集合选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合3已知全集S1,2，a22a3，A1，a，SA3，则实数a等于()A0或2 B0C1或2 D2答案D解析由题意，知则a2.4设集合P3，log2a，Qa，b，若PQ0，则PQ等于()A3,0 B3,0,2C3,0,1 D3,0,1,2答案C解析由PQ0，得log2a0，所以a1，从而b0，PQ3,0,15已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个答案B解析M0,1,2
15、,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224个6已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，则()AAB BBACAB DAB答案B解析因为Ax|x2x20，所以Ax|1x2又Bx|1x1，画出数轴，可得BA.7(2013辽宁)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB等于()A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,2答案D解析Ax|1x4，Bx|x2，ABx|1x28 设全集U为整数集，集合AxN|y，BxZ|1x3，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ()A3 B4 C7 D8答案C解析因为AxN|yxN|7xx260xN|1x6，由题意，知题图中阴影部分表示的
16、集合为AB1,2,3，所以其真子集有：，1，2，3，1,2，1,3，2,3，共7个二、填空题9已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，则a_.答案1或2解析由a2a13，得a1或a2，经检验符合由a2a1a，得a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故a1或2.10已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示点集，AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合，代入验证即可11已知集合Ax|x|2，Bx|x1，则AB_.答案x|2x1解析易知Ax|2x2，ABx|2x112已知集合Ax|1x5，Cx
17、|axa3若CAC，则a的取值范围是_答案(，1解析因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得1 Dx|x1或x1或x0，Mx|x1或x0，Ny|y1，MNx|x13已知UxZ|yln，MxZ|x4|1，NxN|Z，则集合4,5等于()AMN BM(UN)CN(UM) D(UM)(UN)答案B解析集合U为函数yln的定义域内的整数集，由10，即0，解得0x1，Py|y，x2，则UP_.答案解析Uy|ylog2x，x1y|y0，Py|y，x2y|0y，UPy|y.5已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是_答案1，)解析Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)，因为AB，画出数轴，如右图所示，得c1.6已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b0，b1，若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合AB只有一个真子集，那么ybx1(b0，b1)与ya的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，)