1、考点规范练37直线与方程一、基础巩固1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.13B.-13C.-32D.23答案:B解析:设点P(a,1),Q(7,b),则有a+7=2,b+1=-2,解得a=-5,b=-3,从而可得直线l的斜率为-3-17+5=-13.2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4答案:B解析:直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,m(m-1)=3m2,m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.3.若直线l1:kx+(1
2、-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3答案:C解析:若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=25,显然两直线垂直.若k1,直线l1,l2的斜率分别为k1=kk-1,k2=1-k2k+3.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.4.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案:B解析:直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线
3、l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象可能是()答案:B解析:直线l1的方程可化为y=-ax-b,直线l2的方程可化为y=-bx-a.当a0,b0时,-a0,-b0,选项B符合.6.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.22C.4D.23答案:C解析:(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值可先求(m-0)2+(n-0)2的最小值.而(m-0)2+(n-0)
4、2表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.故m2+n2的最小值为4.(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A52,0,B0,103,在RtOAB中,|OA|=52,|OB|=103,|AB|=522+1032=256,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,SOAB=12|OA|OB|=12|AB|h,h=|OA|OB|AB|=52103256=2,m2+n2的最小值为h2=4.7.已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范
5、围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-,12(1,+)C.(-,1)15,+D.(-,-1)12,+答案:D解析:设直线的斜率为k,如图.当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12.故所求的直线的斜率的取值范围是(-,-1)12,+.8.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.答案:0,10解析:由题意得,点P到直线的距离为|44-3a-1|5=|15-3a|5.又|15-3a|53,即|15-3a|15,解得0a10,故a的取值范围是0,1
6、0.9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂直.解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,根据题意可知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或m=0.(3)直线与y轴平行,则有m2-2m-30,2m2+
7、m-1=0,解得m=12.(4)直线与y轴垂直,则有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.10.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;当m-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-3+m4,k2=-25+m,它们在y轴上的截距分别为b1=5-3m4,b2=85+m.由k1k2,得-3+m4-25+m,即m-7,且m-1.则当m-7,且m-1时,l1与l2相交.(2)由k1=k2,b1b2,得-3+m4=-25+m,5-3m
8、485+m,解得m=-7.则当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得-3+m4-25+m=-1,解得m=-133.则当m=-133时,l1与l2垂直.二、能力提升11.若mR,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由log6m=-1,得m=16.若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=16,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-
9、1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.12.已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则该对称直线l的方程为()A.6x+5y-1=0B.5x+6y+1=0C.5x-6y-1=0D.6x-5y-1=0答案:D解析:由题意可得,直线l是线段AB的垂直平分线.因为A(7,-4),B(-5,6),所以kAB=6+4-5-7=-56,所以kl=65.又因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以直线l的方程为y-1=65(x-1),即6x-5y-1=0.13.在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值
10、为()A.102B.10C.5D.10答案:D解析:由题意知P(0,1),Q(-3,0).过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,点M位于以PQ为直径的圆上.|PQ|=9+1=10,|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.14.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.答案:42解析:由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y22x4y=22x+2y=42,当且仅当x=2y=32时等号成立,故2x+4y的最小值为42.15.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2
11、y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,求当a为何值时,四边形的面积最小?解:由ax-2y=2a-4,2x+a2y=2a2+4,得x=2,y=2,所以直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,连接OA,则S四边形OBAC=SAOB+SAOC=122(a2+2)+122(2-a)=a2-a+4=a-122+154,a(0,2),所以当a=12时,四边形OBAC的面积最小.三、高考预测16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0c18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.24,14B.2,22C.2,12D.22,12答案:D解析:依题意得|a-b|=(a+b)2-4ab=1-4c,当0c18时,22|a-b|=1-4c1.因为两条直线间的距离等于|a-b|2,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22,2212=12.