1、第1讲 函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想思想概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究；方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考：1函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就转化为不
2、等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想求解3(1)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；(2)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切类型讲解类型一 函数方程思想在不等式恒成立、函数零点问题中的应用【例1】已知函数f(x)exax，其中a0.(1)若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2
3、)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立(1)解 f(x)exa，令f(x)0，得xln a.当xln a时，f(x)0；当xln a时，f(x)0.f(x)在(，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函数故当xln a时，f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是对一切xR，f(x)1恒成立，当且仅当aaln a1.令g(t)ttln t，则g(t)ln t.当0t1时，g(t)0，g(t)单调递增；当t1时，g(t)0，g(t)单调递减故当t1时，g(t)取最大
4、值g(1)1.因此，当且仅当a1时，式成立综上所述，a的取值集合为1规律方法(1)本题求解的关键在于恰当构造函数，第(1)问中xR，恒有f(x)1，转化为求函数f(x)min1.第(2)问中对于aaln a1，构造函数，求aaln a最大值为1，从而把不等式转化为方程第(3)问中在第(2)问中判定(x1)，(x2)符号，构建函数F(t)ett1，利用单调性加以确定，抓住函数这一灵魂，找到解题的利器(2)题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式等基础知识，灵活利用函数方程思想，有效实施方程，不等式，函数之间相互转化规律方法(1)等差、等比数列中，通项公式、前n项和公式，可以看成n的函数，可
5、以用函数方法解决(2)而数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在数列问题中也有着重要的作用思想概述数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质二、数
6、形结合思想在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：1要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；2选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；3挖掘隐含条件，准确界定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占有非常重要的地位近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重性等，都用到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器答案(1)2(2)(10,12
7、)规律方法(1)挖掘代数式的几何意义，完成图形语言，符号语言转化是解第(1)题的关键(2)画出函数图象是一项基本技能，要求从画准确图开始(列表、描点、连线)，达到根据函数性质及关键点、线快速画草图的水平，最后能够看着函数想出图象类型二 几何中的数形结合思想【例2】在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ABN面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由规律方法(1)本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题，数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效(2)此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程(组)或不等式(组)，从而将问题解决
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