1、考点规范练30复数一、基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案:C解析:由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.已知复数z=2-i,则zz的值为()A.5B.5C.3D.3答案:A解析:zz=(2-i)(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)答案:B解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+10,
2、解得a-1.故选B.4.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案:B解析:设z=a+bi(a,bR),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=2答案:D解析:z=1-i,|z|=1+1=2,选D.6.已知复数z满足iz=i+z,则z=()A.-12+12iB.-12-12iC.12-12iD.12+12i答案:C解析:iz=i+z,(1-i)z=-i,即z=-i1-
3、i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12-12i.故选C.7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i答案:A解析:由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)(1-i)=2.故选A.8.设z=1+i,则2z+z2等于()A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i答案:A解析:2z+z2=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=2(1-i)2+2i=1-i+2i=1+i.9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限
4、B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z1=2+2i,z2=1-3i,z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为-125,45,位于第二象限.故选B.10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案:10解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+32=10,答案为10.11.(2020天津,10)i是虚数单位,复数8-i2+i=.答案:3-2i解析:8-i2+i=(8-i)(2-i)(2+i)(
5、2-i)=16+i2-2i-8i5=15-10i5=3-2i.12.已知aR,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为.答案:-2解析:a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,-a+25=0,即a=-2.二、能力提升13.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案:C解析:由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.14.(多选题)已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,mR,则()A.复数z2对应的点不可能在第二象限B.若复数z2的模与复数z1的模相等,则m=
6、2C.若z1z2的实部和虚部为相等的正数,则m=34D.若z1z2为纯虚数,则m=13答案:AC解析:A项中,若复数z2对应的点在第二象限,则m0,不等式无解,故A正确;B项中,|z1|=5,|z2|=m2+(m-1)2=5,解得m=2或m=-1,故B不正确;C项中,z1z2=(1+2i)m+(m-1)i=(m-2m+2)+(2m+m-1)i=(2-m)+(3m-1)i,则有2-m=3m-1,得m=34.故C正确;D项中,由C项知,z1z2=(2-m)+(3m-1)i,则2-m=0,且3m-10,得m=2.故D不正确.15.已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=
7、,ab=.答案:52解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.16.已知复数z=3+i(1-3i)2,z是z的共轭复数,则zz=.答案:14解析:z=3+i(1-3i)2=3+i-2-23i=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2(1+3i)(1-3i)=23-2i-8=-34+14i,故z=-34-14i,zz=-34+14i-34-14i=316+116=14.17.已知复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos +(+3sin )i(m,R),并且z1=z2,则的取值范围是.
8、答案:-916,7解析:由复数相等的充要条件可得m=2cos,4-m2=+3sin,化简,得4-4cos2=+3sin,由此可得=-4cos2-3sin+4=-4(1-sin2)-3sin+4=4sin2-3sin=4sin-382-916,因为sin-1,1,所以4sin2-3sin-916,7.18.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=OA+OB(,R),则+的值是.答案:1解析:由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),根据OC=OA+OB得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),-+=3,2-=-4,解得=-1,=2.+=1.三、高考预测19.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=()A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD.1-2i答案:B解析:z(1-i)2=4+2i,z(-2i)=4+2i.z=(2+i)i=-1+2i.z=-1-2i.故选B.