1、第三节 排列与组合（二）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布考 纲 要 求能综合运用排列与组合知识解决简单的实际问题课 前 自 修知识梳理1排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”2解排列组合的应用题，要注意四点：(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步(2)深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，
2、多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错(3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复基础自测1(2012佛山市南海区摸底)甲、乙2人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种B12种C24种D30种答案
3、：C2(2012新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种C9种D8种解析：分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有12种故选A.答案：A3(2011福州市调研)为了迎接2011年深圳大运会，现从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有_种(用数字作答)答案：180 4(2011长沙市调研)某高三学生希望报
4、名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校该学生不同的报考方法种数是_(用数字作答).答案：16考 点 探 究考点一用定义法求组合数【例1】(1)方程xyz9共有n组正整数解，则n等于_(2)10名战士站成一排，从中任选3个互不相邻的战士去执行一项任务，则不同的选派方法的种数是_解析：(1)将9个1摆成一个横排，在除两端外侧的8个空当中放上两个“”号，将9个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x，y，z的值，所以共有28组解(2)问题可理解为：7个人站在一排，现有3人插队，但不相邻，共有多少种选位方法？每选三个位置算1种
5、选法因为7人前后共有8个空当，所以共有56种不同的选法答案：(1)28(2)56点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序变式探究1(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果，则甲方获胜的比赛结果共有_种可能(2)20个相同的小球，全部装入编号为1,2,3的3个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，则共有_种不同的放法解析：(1)一方获胜至少要下5盘棋，至多要下9盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有
6、126种可能(2)首先在2号盒内放1个球，在3号盒内放2个球，然后将余下的17个球摆成一横排，用两块隔板将其分割成三组，每组至少有1个球，再将三组球分别放入3个盒子里即可因为17个球除两端外侧共有16个空当，所以共有120种不同放法答案：(1)126(2)120考点二结合两个计数原理求组合数【例2】学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给4个理科学生和3个文科学生，每人限借与本学科相关的书1本，求共有多少种不同的借法？解析：依据题意，至少有1个文科学生和1个理科学生借数学，分为三大类：仅有1个文科学生借数学，则对另外3本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借
7、，还可能有3个理科学生借，所以共有 ()种方法；有2个文科学生借数学，则对另外2本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，所以共有 ()种方法；3个文科学生都借数学，另一本数学借给1个理科学生，有C种方法由分类计数原理,共有76种点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算变式探究2(2012山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析：(法一)(排除法)先
8、从16张卡片选3张，然后排除所取3张同色与红色的为2张的情况，故共有56088472种故选C.(法二)(直接法)有红色卡片的取法有种，不含红色卡片的取法有种，总共不同取法有472种故选C.答案：C考点三用间接法求组合数【例3】在AOB的OA边上取5个点，在OB边上取6个点(均不包括O点)，连同O点共12个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数有()A90B135 C165 D185解析：(法一)第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形有 =30个；第二类：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可
9、构造一个三角形，有 75个；第三类：从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，可构造一个三角形，有 60个由加法原理共有N307560165个三角形故选C.(法二)从 12个点中任取三点共有220个，其中三点均在射线OA(包括 O点)，有C20个，三点均在射线OB(包括 O点)，有35个所以，三角形的个数为N2202035165个故选C.答案：C点评：对有限制条件的计数问题，一是可以根据是限制“元素”还是“位置”来分类，再根据分类与分步来计算；二是转化为一些基本的组合问题模型，利用间接法求解，如本题用的是“正难则反”的思路变式探究3从4名男生和5名女生中任选5人参加数学
10、课外小组(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选的方法数为_；(2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法数为_解析：(1)(法一)先从4名男生中选2人，有种选法，再从除甲外的4名女生中选2人，有种选法由分步计数原理，共有36种(法二)从4名男生中选2名，从5名女生中选3名，共种选法，其中女生甲不入选的方法有种所以共有36种(2)从9人中任选5人的选法有种其中5名女生都入选的选法有种，男生甲和女生乙同时入选的选法有种所以符合条件的选法共有90种答案：(1)36(2)90考点四排列组合应用题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份
11、2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本思路点拨：这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏解析：(1)无序不均匀分组问题先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有种方法故共有60种(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，
12、共有360种(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共种情况，而这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有15种(4)有序均匀分组问题在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式 90种(5)无序部分均匀分组问题共有15种(6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式
13、90种(7)直接分配问题甲选1本有种方法，乙从余下5本中选1本有种方法，余下4本留给丙有种方法共有30种点评：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数变式探究4从6名短跑运动员中选4人参加4100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则参赛方法的种数是_解析：问题分成三类：甲、乙两人均不参加，有种；甲、乙两人有且仅有一人参加，有种；甲、乙两人均参加，其中甲跑第四棒有种，甲跑第二棒或第三棒有种由分类
14、计数原理，共252种答案：252考点五选举中的排列与组合问题【例5】有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解析：(1)先取后排，先取有种，后排有种，共有()5 400种(2)除去该女生后先取后排：840种(3)先取后排，但先安排该男生：3 360种(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共360种点评：特殊元素或特殊位
15、置首先考虑变式探究5(2011皖北四市模拟)2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是()A60 B.48 C.42 D.36解析：(法一)从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有6种不同排法)，剩下1名女生记作B,2名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A，B之间(若甲在A，B两端，则为使A，B不相邻，只有把男生乙排在A，B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6212种排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法(法二)同法一，从3名女生中任取2人“捆”
16、在一起记作A(A共有6种不同排法)，剩下1名女生记作B,2名男生分别记作甲、乙为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A，B在两端，男生甲、乙在中间，共有6 24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有1种排法，此时共有6 12种排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有1种排法，此时共有6 12种排法三类之和为24121248种故选B.答案：B课时升华课时升华对于解答排列与组合的综合问题时应注意：1对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步2对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考
17、虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数3关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化.感 悟 高 考品味高考1(2012陕西卷)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜
18、负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A10种B15种C20种D30种解析：依题意知比赛局数至少为3局，至多为5局依甲赢计算：打3局结束甲全胜只有1种；打4局结束甲前3局赢2局，第4局必胜有种；打5局结束甲前4局赢2局，第5局必胜有16种故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种故选C.答案：C2给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有2个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)解析：(1)以黑色正方形的个数
19、分类：若有3个黑色正方形，则有4种；若有2个黑色正方形，则有10种；若有1个黑色正方形，则有6种；若无黑色正方形，则有1种所以共有4106121种(2)至少有2个黑色正方形相邻包括：有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻等几种情况只有2个黑色正方形相邻，有23种；只有3个黑色正方形相邻，有12种；只有4个黑色正方形相邻，有5种；只有5个黑色正方形相邻，有2种；只有6个黑色正方形相邻，有1种故共有231252143种答案：2143高考预测1(2012济南市模拟)如下图所示，若使电路接通灯亮，则开关不同的开闭方式有()A11种B20种C21种D12种解析：若前一组开关只接通一个，则后一组有7种，此时有2714种若前一组开关接通两个，则后一组有7种，所以总共有14721种故选C.答案：C2(2012深圳高级中学期末)值域为2,5,10，其对应关系为yx21的函数的个数()A1 B27 C39 D8解析：分别由x212，x215，x2110解得x1，x2，x3由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：取三个元素：有8种；取四个元素：先从1，2，3三组中选取一组，有 种，再从剩下的两组中选两个元素种，故共有12种；取五个元素：6种；取六个元素：1种由分类计数原理，共有8126127种故选B.答案：B
