1、第八节 解三角形的应用第三章 三角函数与解三角形考 纲 要 求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.课 前 自 修知识梳理一、实际问题中的相关术语、名称1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角如图(1).2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角如图(2)(3)4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数如图(3)，角为坡角.坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比二、正、余弦定理可以解决的实际问题距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能
2、到达)、角度(航海或航空定位)、面积等基础自测1如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A，a，bBa，b，C，aD，b解析：由于A与B不可到达，故不易测量，而a，b，容易测出故选B.答案：B2如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为()A(153 )m B(3015 )mC(3030 )m D(1530 )m3(2012杭州市模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得 BCD75，BDC60，CD30 m，并在点
3、C 测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_m.4如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_考 点 探 究考点一高度问题【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至点D处，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高度思路点拨：根据几个已知的仰角，把其他几个角表示出来，设AEh，可以在三个直角三角形和两个斜三角形中解决问题，因此方法较多点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本思想是把测量的高所在线段纳入到
4、一个(或两个)可解三角形中.测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，解两个三角形，运用解方程思想解决问题变式探究1从某电视塔的正东方向A处，测得塔顶仰角是60；从电视塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45，A，B间的距离是35 m，则此电视塔的高度_m(结果保留根号)5考点二距离问题【例2】某市电力部门在抗洪救灾的某项重建工程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离.现测量人员在相距km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(如图)，假
5、如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的倍问：施工单位至少应该准备多长的电线？思路点拨：连接AB，这样，所求线段就在ABC和ABD中，再依据题设条件求出这两个三角形中的某一个三角形的两条边，就可以使用余弦定理求得AB的距离点评：距离的测量问题，关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，若三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长本题中把测量目标纳入到ABC或者ABD皆可，再通过ACD和BCD求出边长，这样，再利用余弦定理就可以解决问题变式探究2如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏
6、西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 海里问：乙船每小时航行多少海里？考点三角度问题【例3】(2011北京市海淀区模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)（参考数据：sin 41，sin 15）变式探究3在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C
7、处的缉私船奉命以每小时10 海里的速度追截走私船.此时，走私船正以每小时10海里的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？课时升华应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：(1)分析：审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图；(2)建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程(组)；(3)求解：选择正弦、余弦定理及面积公式等有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解感 悟 高 考品味高考1在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两
8、点之间的距离为_千米2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由高考预测1(2012韶关市调研)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 m C25 m D.m 2已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.解析：如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120，整理得x22x50，解得x1(舍去x1)答案：1
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