1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系第七章 平面解析几何考 纲 要 求1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题课 前 自 修知识梳理一、点与圆的位置关系若圆(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点(x0，y0)在圆上_；圆外_；圆内_.二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交有两种判断方法：1代数法(判别式法)D0_；D=0_；D0_.2几何法：圆心到直线的距离一般宜用几何法相交相切相离相交相切相离基础自测1(2011深圳市二模)直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是()A相交B相切C相离D不确
2、定解析：(法一)圆心(0,1)到直线的距离d1.故选A.(法二)直线mxy1m0过定点(1,1)，又点(1,1)在圆C的内部，所以直线l与圆C是相交的故选A.答案：A2(2012大庆市铁人中学期末)过点A(a，a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为()Aa-3或1a B1aCa-3 D-3a3圆C与圆x2+y2=1内切于第一象限，且圆C与两坐标轴相切，则圆C的半径为_解析：依题意可设圆C的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)，作图可知，两圆的圆心距为a，两圆内切，a1a，解得a1，即圆C的半径为1.答案：14(2011株洲市模拟)如图，已知直线l：x
3、-y+4=0与圆C：=2，则圆C上各点到l的距离的最小值为_考 点 探 究考点一直线与圆的位置关系的判定【例1】(1)直线3x-4y-9=0与圆x2+y2=4的位置关系是()A相交且过圆心B相切C相离D相交但不过圆心(2)(2012九江市七校联考)直线l：mx+y+2m2+1=0(mR但m0)与圆C:x2+(y-1)2=4的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定解析：(1)因为圆心(0,0)到直线3x4y90的距离d2，所以直线l与圆C相离故选C.答案：(1)D(2)C变式探究1(1)(2012聊城市五校期末联考)如果函数f(x)=-ln(x+1)的图象在x=1处的切线l过点，并且l与圆C：
4、x2+y2=1相离，则点(a，b)与圆C的位置关系是()A在圆内B在圆外C在圆上D不能确定(2)(2011烟台市“十一五”课题调研)圆x2+y2-2x+4y-4=0与直线2tx-y-2-2t=0(tR)的位置关系为()A相离B相切C相交D都有可能考点二圆的最长弦、最短弦问题【例2】(2013西安市模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC，BD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积为()A10 B20 C30 D40解析：圆的方程：(x3)2(y4)225，半径r5.圆心P(3,4)到最短弦BD的距离d|PM|1，最短弦长|B
5、D|4 .又最长弦长|AC|2r10，四边形的面积S|AC|BD|20 故选B.答案：B变式探究2(2011天津市宝坻区模拟)过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A2 B4 C2 D5考点三圆的切线问题【例3】(1)求过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切线方程；(2)过点M(2,4)向圆引两条切线，切点为P，Q，求P，Q所在直线方程(简称切点弦)思路点拨：(1)用点斜式设直线方程时，要分斜率存在、不存在两种情况讨论；(2)点M，圆心C，切点P，Q四点共圆，直线PQ为两圆公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程解析：(
6、1)当所求切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0.=1.解得k=，即切线方程为24x-7y-20=0.当k不存在时，切线方程为x=2.故所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.(2)连接CP，CQ，则CPPM，CQQM.M，P，Q，C四点共圆，其圆是以CM为直径的圆C(1，-3)，CM的中点为，|CM|=以CM为直径的圆的方程为PQ的方程为(x-1)2+(y+3)2-1-=0，即x+7y+19=0.变式探究3(2012哈尔滨六中期末)设圆x2+y2=4的一条切线与x轴，y轴分别交于点A，B，则|AB|的最小值为_考点四两圆的位置关系【例4】(1)(20
7、11南宁市模拟)圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是()A相离B相交C外切D内切(2)已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9C(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15解析：(1)化成标准方程：O1：(x-1)2+y2=1，O2：x2+(y-2)2=4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|=，又 0的检验5(2012株洲市检测)在直角坐标系xOy
8、中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x y=4相切(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2 ，求直线MN的方程；(3)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围变式探究课时升华课时升华1直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交判定方法有两种：(1)几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；(2)代数法：看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数2解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定3当直线和圆相切时，求切线方程
9、一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形4求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况5有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用6在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.感 悟 高 考品味高考1(2012天津卷)设m，nR，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n
10、的取值范围是()2(2012江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_高考预测1(2012安庆市二模)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，直线l：2x+y=0，则圆C上的点到直线l的距离最大值为()A1 B2 C3 D4解析：直线l：2xy0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径圆的圆心为(1，2)，半径为3，因为点(1，2)在直线l：2xy0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.答案：C2若a，b，c是RtABC的三边的长(c为斜边)，则圆C：x2+y2=4被直线l：ax+by+c=0所截得的弦长为_
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