1、高考总复习高考总复习数学数学(文科)第二节 函数的单调性与最大(小)值第二章 函数、导数及其应用高考总复习高考总复习数学数学(文科)考 纲 要 求1理解函数的单调性以及几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的性质3会求一些简单函数的值域4理解函数的最大值、最小值以及几何意义.高考总复习高考总复习数学数学(文科)课 前 自 修知识梳理一、函数单调性的定义1对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上自变量的任意两个值x1，x2：(1)若x1x2时，都有_，则称f(x)在这个区间D上是增函数；(2)若x1x2时，都有_，则称f(x)在这个区间D上是减函数2若函数yf(x)在某个区间是_，则称函数yf(
2、x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做函数yf(x)的_此时也称函数f(x)是这一区间上的单调函数f(x1)f(x2)增函数或减函数单调区间高考总复习高考总复习数学数学(文科)二、证明函数单调性的一般方法1定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2_，且x10(f(x)0)在(0，)上的单调性自主解答：点评：本题用的是定义法，注意按定义法的步骤进行：取值作差变形定号下结论高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究1判断并证明函数f(x)x3a(aR，a是常数)的单调性高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点二求函数的单调区间高考总
3、复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点三求复合函数的单调区间【例3】求函数ylog (x22x3)的单调区间，并用单调定义给予证明解析：由x22x30 x3或x1，所以函数的定义域为(，1)(3，)因为外函数ylog u在(0，)上递减，内函数ux22x3在(，1)上递减，在(3，)上递增，由复合函数的单调性规律“同增异减”知，函数ylog(x22x3)的单调递减区间是(3，)，单调递增区间是(，1)现用单调定义证明如下：高考总复习高考总复习数学数
4、学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究3函数f(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)yx22xa(x1)2a1在1，)内递增，当x1时，ymin3a，当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，a3.(法二)f(x)x2，x1，)当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究高考总复习高考总复习数学数学(文科)课时升华1在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意：(1)先求定义域，单调区间是定义域的子集(2)在多个单调区间之间不一
5、定能添加符号“”和“或”(3)单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示(4)要注意函数单调性与奇偶性的逆用(如比较大小，解不等式，求参数范围)高考总复习高考总复习数学数学(文科)2确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧(1)在解答题中常用定义法、导数法(2)在选择题和填空题中还可用数形结合法、特殊值法等，特别要注意yax(a0，b0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(，)，减区间为，0)，(0,.高考总复习高考总复习数学数学(文科)3一些有用的结论在公共定义域内：(1)增函数f(x)增函数g(x)是增函数；(2)减函数f(x)减函数g(x)是减函数；(3)增函数f(x)减
6、函数g(x)是增函数；(4)减函数f(x)增函数g(x)是减函数4求函数值域(最值)的各种方法(1)直接法：利用常见函数的值域来求一次函数yaxb(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数y(k0)的定义域为x|x0，值域为y|y0；高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)(3)导数法：就是利用导数这一工具来求函数的值域，几乎所有具体函数都可以用导数法来求值域(或最值)(4)换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型注意：利用换元法求值域与最值时，必须注意换元后要转变变量的取值范围，因为定义域是值域
7、的基础(5)函数有界性法：直接求函数的值域较困难时，可以利用已学过函数的有界性来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性(如正、余弦函数均为有界函数，即|sin x|1，|cos x|1)高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)(9)不等式法：利用基本不等式ab2(a，bR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积的形式时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧注意：利用均值不等式求值域与最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，特别是等号成立的条件容易被忽视求函数的定义域、值域时，要按要求写成集合形式或区间形式高考总
8、复习高考总复习数学数学(文科)5求最值时应注意的问题(1)求函数最值的方法，实质上与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异(2)无论用何种方法求最值，都要考虑“”能否成立注意：函数的值域与函数的最值从概念上看是不同的，函数值域的边界值并非是函数的最值；写函数值域时要注意其边界值(最值)是否能够取到，取到用闭区间，取不到则用开区间；函数值域的几何意义是对应函数图象上纵坐标的变化范围，故有时可结合函数图象分析值域同时要注意函数图象的端点值是否能够取到，其图象上是实心点还是空心点，作图要准确高考总复习高考总复习数学数学(文科)感 悟 高 考品味高考解析：函数yln(x2)在区间(0，)上为增函数；
9、函数y在区间(0，)上为减函数；函数yx在区间(0，)上为减函数；函数yx在区间(0，)上为先减后增函数故选A.答案：A高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(2012山东卷)设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)ax在R上为减函数，则有0a0，所以a2)，f2(x)xa2(x2)，若使f(x)的值域为R，则必须f1(x)minf2(x)max，即22a2a2，即a2a20，解得a1或a2.故选A.答案：A高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(2012宁波市期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)0，函数g(x)在(，1上为增函数，在1，)上为减函数，且g(4)g(0)0，则集合x|f(x)g(x)0()Ax|x0或1x4 Bx|0 x4Cx|x4 Dx|0 x1或x4 解析：由题，结合函数性质可得x1时，f(x)0；x0时，f(x)0；x0或x4时，g(x)0；0 x4时，g(x)0，故f(x)g(x)0的解集为x|x0或1x4.故选A.答案：A
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