1、高考总复习高考总复习数学数学(文科)第七节 双曲线(一)第七章 平面解析几何高考总复习高考总复习数学数学(文科)考 纲 要 求1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2理解数形结合的思想.高考总复习高考总复习数学数学(文科)课 前 自 修知识梳理一、双曲线的定义1我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为|AF1|-|AF2|=2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的第二定义(属知识拓展)：平面内，到定点F(c,0)(或F(0，c)的距离与到定直线l：x=的距离之比是
2、常数的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，其中常数叫做双曲线的离心率高考总复习高考总复习数学数学(文科)二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为=1(a0，b0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(-c,0)，且c2=a2+b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为=1(a0，b0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，-c)，且c2=a2+b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式高考总复习高考总复习数学数学(文科)三、双曲线的几何性质方程=1=1图形范围x-a或xa，yRy-
3、a或ya，xR对称性关于x轴，y轴及原点对称关于x轴，y轴及原点对称高考总复习高考总复习数学数学(文科)方程=1=1顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-a)，B2(0，a)离心率e=(e1)e=(e1)准线(属知识拓展)x=y=渐近线y=xy=xa，b，c的关系c2=a2+b2c2=a2+b2高考总复习高考总复习数学数学(文科)基础自测高考总复习高考总复习数学数学(文科)2.“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由ab0，b0或a0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然故选C.答案
4、：C高考总复习高考总复习数学数学(文科)3过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_148高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)考 点 探 究考点一求双曲线的标准方程【例1】设双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程思路点拨：由于椭圆的焦点坐标为(0，3)，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为(0，3)，从而知所设双曲线的形式应为=1，围绕定义产生的问题，要注意|AF1|-|AF2|=2a的三个量之间的关系本题抓住“交点A”在双曲线上，必
5、须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立a，b，c之间的等量关系，再利用c2=a2+b2运用方程的思想来求解，从而得到a，b的值但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究1(1)正三角形ABC的面积为4 ，顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，则以B，C为实轴顶点，A为虚轴一个端点的双曲线方程是_ (2)(2011长沙市二模)设椭圆C1的离心率为，焦点
6、在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点二双曲线定义的运用【例2】(2011沈阳市模拟)如图所示，F为双曲线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i 关于y轴对称，则的值是()A9 B16 C18 D27高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：设双曲线的右焦点为F，因为双曲线C上的点Pi与P7i(i1,2,3)关于y轴对称，所以|P1F|P6F|，|P2F|P5F|，|P3F|P4F|，由双曲线的定义知|P1F|P1F|6，|P2F|P2F|
7、6，|P3F|P3F|6，所以|P1F|P1F|P2F|P2F|P3F|P3F|18.故选C.答案：C点评：当已知条件涉及双曲线的焦点时，优先考虑能否可用定义来解决，若能，它往往会起到降低难度，思路简洁的效果高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(1)(2012保定市质检)已知M(-2,0)，N(2,0)，|PM|-|PN|=3，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左边一支C双曲线右边一支D一条射线(2)设点P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|=3，则|PF2|等于_变式探究高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：(1)
8、|PM|PN|3|PN|，点P的轨迹为双曲线的右支故选C.(2)由渐近线方程可得a24，a2，根据双曲线定义|PF1|PF2|4，即34，|PF2|7.答案：(1)C(2)7|PF2|高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点三利用双曲线定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所
9、以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2-=1(x-1)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究3已知ABC中，C(-2,0)，B(2,0)，sin B-sin C=sin A，则顶点A的轨迹方程是_解析：由正弦定理及sin Bsin Csin A得，|AC|AB|BC|BC|.由双曲线的第一定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，c2，a
10、1，b2c2a23.顶点A的轨迹方程为x21(x1)答案：x21(x1)高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例4】已知a0，p)，试探究随a值的变化，方程x2sin a+y2cos a=1所表示的曲线解析：(1)a=0时，为两直线y=1和y=-1;(2)a=时，为两直线x=1和x=-1；(3)0a 时，为焦点在x轴上的椭圆；(4)a=时，半径为的圆；(5)a 时，焦点在y轴上的椭圆；(6)ap时，焦点在x轴上的双曲线点评：本题主要考查圆、椭圆、双曲线方程的形式和分类讨论思想高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究4(1)若kR，则方程=1表示焦点在
11、x轴上的双曲线的充要条件是()A-3k-2 Bk-3Ck-2 Dk-2(2)(2011福州市模拟)方程=1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t4；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t .其中真命题的序号是_(写出所有正确的命题的序号)高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：(1)由题意可知，解得3k 2.故选A.答案：(1)A(2)高考总复习高考总复习数学数学(文科)课时升华课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b，c，e的关系关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想为此在复
12、习中应注意以下几点：1双曲线的定义用代数式表示为|MF1|-|MF2|=2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a|F1F2|时，动点轨迹不存在高考总复习高考总复习数学数学(文科)2双曲线中有一个重要的RtOAB(如图)，它的三边长分别是a，b，c.易见c2=a2+b2，若记AOB=q，则e=.高考总复习高考总复习数学数学(文科)3参数a，b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a0，b0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a，b，c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB0且C0，就是双曲线的方程4在运用双曲线的第二定义时，一定要注
13、意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.高考总复习高考总复习数学数学(文科)感 悟 高 考品味高考1(2012大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos F1PF2=()A.B.C.D.高考总复习高考总复习数学数学(文科)2设圆C与两圆(x+)2+y2=4，(x-)+y2=4中的一个内切，另一个外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M ，F(，0)，且P为L上动点，求|MP|-|FP|的最大值及此时点P的坐标高考总复习高考总复习数学数学(文科)(2)由已知可求得过M，F的直线l方程为y2(x)，将其代入L的方程得15x232 x840，解得x1，x2，故可求得l与L的交点坐标分别为T1 ，T2 .因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故|MT1|FT1|MF|2，|MT2|FT2|MF|2.若P不在直线MF上，在MFP中有|MP|FP|0，b0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若=5，则双曲线的渐近线方程为()Ax y=0 B.xy=0Cx2y=0 D2xy=0B
