1、第三讲概率、随机变量及其分布列【考情快报】(1)该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.(2)从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型概率分布列等，都属于中、低档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_；(2)每个基本事件出现的可能性_；
2、将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限个相等2几何概型如果每一个事件发生的概率只与构成事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.3两点分布若随机变量X的分布列具有如下形式：长度面积体积1-p则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率.4.事件的相互独立性设事件A，B为两个事件，如果P(AB)_.则称事件A与事件B相互独立.三、重要公式1古典概型的概率公式P(A)_.P(A)P(B)A包含的基本事件的个数基本事件的总数2.几何概型的概率公式P(A)=_.提醒：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的概率与
3、所在的区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3条件概率公式P(BA)=_.4超几何分布的概率一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件(Xk)发生的概率为：P(Xk)_(k0，1，2，m)(mM,mn,MN).P(AB)P(A)5离散型随机变量的均值、方差(1)一般地，离散型随机变量X的分布列为则均值E(X)_，方差D(X)_.x1p1x2p2xipixnpn(2)若X服从两点分布：D(X)=p(1-p).若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).D(aX+b)=a2D(X).6.
4、正态分布的三个常用数据(1)P(X)_；(2)P(2X2)_；(3)P(3X3)_.0.682 60.954 40.997 4热点考向 一古典概型、几何概型的概率问题【典例】1.(2012辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，令边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()2.(2012江苏高考)有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机地抽取一个数，则它小于8的概率是_.【解题指导】1.设其中一段长为x cm，则另一段长为(12-x)cm，其中0 x12，利用x(12-x)32求得x的取值范围，利用几何概
5、型求得概率.2.从等比数列的通项公式和古典概型两方面处理.【解析】1.选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段BC长为(12-x)cm，其中0 x12,由题意x(12-x)32,解得0 x4或8x12，则点C的取值长度4+48(cm)，故概率为2.这10个数是1，-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，(-3)5，(-3)6，(-3)7，(-3)8，(-3)9.所以它小于8的概率为答案:【拓展提升】1.求古典概型的概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式，求出P(A).2.解答几何概型、古典概型问题时的注意事项(1)解答有关古典概
6、型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.提醒:当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率.热点考向 二条件概率、相互独立事件、n次独立重复试验问题【典例】1.(2012新课标全国卷)某个部
7、件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_.2.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分.在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3
8、分.记为射手射击3次后的总得分数，求的分布列.【解题指导】1.由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过1 000小时的概率，然后将部件的使用寿命超过1 000小时的可能情况列出，利用相互独立事件的概率公式求解.2.(1)看作是5次独立重复试验发生2次的概率.(2)3次连续击中目标有3种情况，利用相互独立事件的概率求解.(3)的可能取值为0，1，2，3，6，利用相互独立事件的概率求相应概率即可.【解析】1.设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C),该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为:该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为答案:
9、2.(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则XB(5，)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X2)(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1，2，3，4，5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则(3)由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6.所以的分布列是【拓展提升】求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进
10、行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.(4)牢记公式并深刻理解其含义.热点考向 三离散型随机变量及分布列【典例】(12分)(2012新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量
11、的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【解题指导】(1)由于购进16枝花,所以应按当天需求量建立利润与需求量的分段函数；(2)利用公式求期望与方差，注意随机变量X代表利润；(3)比较购进16枝与17枝的期望，期望越大越好.【规范解答】(1)当n16时，y16(105)80,当n15时，y5n5(16n)10n80,y=4分(2)X可取60，70，80.P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.6分X的分布列为8分E(
12、X)=600.1+700.2+800.7=76,D(X)=1620.1+620.2+420.7=44.10分由知，当购进16枝时，当天的利润期望为E1=76;购进17枝时，当天的利润期望为E2=(145-35)0.1+(155-25)0.2+(165-15)0.16+1750.54=76.476，所以应购进17枝.12分【拓展提升】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3)根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的知识来解决实际
13、问题.【思想诠释】离散型随机变量及其分布列中的分类讨论思想(1)本题中的分类讨论思想主要体现在：由当天的需求量与当天购进的玫瑰花的数量，进行分类讨论；由随机变量的所有可能取值，进行分类讨论求其概率及其分布列；对购进玫瑰花的数量分别计算利润的期望值.(2)与离散型随机变量及其分布列有关问题中的分类讨论思想主要体现在：根据随机变量的不同取值，进行分类讨论求其概率值；求概率时，可依据题设中的限制条件，进行分类讨论求解；像“至少”“至多”等问题，往往要进行分类讨论求解.1.(交汇新)已知集合A(x，y)|x-2y-10,B(x，y)|ax-by+10，其中a，b 1,2，3，4，5，6，则AB的概率为
14、()【解析】选A.AB=,直线x-2y-1=0与直线ax-by+1=0平行,b=2a,这样的(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6)共3个,2.(交汇新)从集合1,2,3,4,5中任取两数，其乘积大于等于10的概率为_.【解析】答案：3.(背景新)如图，圆O:x2+y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_【解析】阴影部分的面积为圆的面积为3,所以点A落在区域M内的概率是答案：4.(背景新)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”(双方同时)：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；
15、若不分胜负，则不动卡片规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束设游戏结束时“出手”次数为，则E()=_【解析】答案：5.(背景新)有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用.(1)求号面需要更换的概率；(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；(3)写出的分布列，求的数学期望.【解析】(1)因为号面不需要更换的概率为：所以号面需要更换的概率为：(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：(3)因为,又的分布列为:=100,E()=100E()=300(元).
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